Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

λx. [fx],
мы подразумеваем функцию, которая при действии на, например, а имеет значение fа, т. е.
(λх. [fx ])a = fа.
Другими словами, λх. [fх] — это просто функция f, т. е.
λх. [fх ] = f.
Сказанное выше требует определенного осмысления. Это одна из тех математических тонкостей, которые на первый взгляд кажутся настолько педантичными и тривиальными, что их смысл часто совершенно ускользает от понимания. Рассмотрим пример из знакомой всем школьной математики. Примем за f тригонометрическую функцию — синус угла. Тогда абстрактная функция «sin» будет определяться выражением
λх. [sin х ] = sin.
(Не придавайте большого значения тому, что в качестве «функции» х может фигурировать величина угла. Мы скоро увидим, каким образом числа можно иногда рассматривать как функции, а величина угла — это просто число.) До сих пор все на самом деле тривиально. Однако представим себе, что обозначение «sin» не было изобретено, но нам известно о существовании представления sin х в форме степенного ряда:
Тогда мы могли бы ввести определение
Можно было поступить еще проще и определить, например, операцию «одна шестая куба», для которой не существует стандартного «функционального» обозначения:
Тогда, например,
К обсуждаемым проблемам большее отношение имеют выражения, составленные просто из элементарных функциональных операций Черча, таких как
λf.[f (fx)]
Это функция, которая, действуя на другую функцию, скажем g, дает дважды итерированную g, действующую на x
(λf.[f (fx)])g = g(gx) .
Мы могли бы сначала «абстрагироваться» от x и рассмотреть выражение
λf. [λх. [f (fх)]],
которое можно сократить до
λfx. [f (fx)].
Это и есть операция, применение которой к g дает функцию «вторая итерация g». По сути, это та самая функция, которую Черч обозначил номером 2 :
2 = λfx.[f (fx)],
так что (2g) y = g (gy). Аналогичным образом он определил:
3 = λ fx. [f (f (fx))],
4 = λfх. [f (f (f (fx)))], и т. д.,
а также
1 = λfх. [fх] и 0 = λ fx.
[x].
Видно, что 2 Черча больше похоже на «дважды», 3 — на «трижды» и т. д. Значит, действие 3 на функцию f, т. е. 3f равносильно операции «применить f три раза», поэтому 3f при действии на у превращается в
(3f)y = f (f (f (y))) -
Посмотрим, как в схеме Черча можно представить очень простую математическую операцию — прибавление 1 к некоторому числу. Определим операцию
S = λabc. [b ((аb)с)].
Чтобы убедиться, что S действительно прибавляет 1 к числу в обозначениях Черча, проверим ее действие на 3 :
поскольку (3b)с = b (b (bc)). Очевидно, эта операция с таким же успехом может быть применена к любому другому натуральному числу Черча. (В действительности, операция
λаbс. [(аb)(bс)] приводит к тому же результату, что и S.)
А как насчет удвоения числа? Удвоение числа может быть получено с помощью операции
что легко видеть на примере ее действия на 3 :
Фактически, основные арифметические операции — сложение, умножение и возведение в степень могут быть определены, соответственно, следующим образом:
А = λfgxy. [((fx)(gx))y],
М = λfgx. [f (gx)],
P = λfg. [fg]
Читатель может самостоятельно убедиться (или же принять на веру), что
(Am) n = m + n,
(Mm) n = m x n,
(Pm) n = nm,
где m и n — функции Черча для двух натуральных чисел, m + n — функция, выражающая их сумму, и т. д. Последняя из этих функций поражает больше всего. Посмотрим, например, что она дает в случае m = 2, n = 3:
Операции вычитания и деления определяются не так легко (на самом деле нам потребуется соглашение о том, что делать с (m — n ), когда m меньше n, и с (m/n ), когда m не делится на n ). Решающий шаг в развитии этого метода был сделан в начале 1930-х годов, когда Клини удалось найти выражение для операции вычитания в рамках схемы Черча! Затем были описаны и другие операции. Наконец, в 1937 году Черч и Тьюринг независимо друг от друга показали, что всякая вычислимая (или алгоритмическая) операция — теперь уже в смысле машин Тьюринга — может быть получена в терминах одного из выражений Черча (и наоборот).
Это воистину замечательный факт, который подчеркивает глубоко объективный и математичный характер понятия вычислимости. На первый взгляд, понятие вычислимости по Черчу не связано с вычислительными машинами. И тем не менее, оно имеет непосредственное отношение к практическим аспектам вычислений. В частности, мощный и гибкий язык программирования LISP включает в себя как существенный элемент основные структуры исчисления Черча.
Как я отмечал ранее, существуют и другие способы определения понятия вычислимости. Несколько позже, но независимо от Тьюринга, Пост предложил во многом сходную концепцию вычислительной машины. Тогда же благодаря работам Дж. Хербранда и Геделя появилось и более практичное определение вычислимости (рекурсивности). X. Б. Карри в 1929 году, и ранее, в 1924, М. Шенфинкель, предложили иной подход, который был отчасти использован Черчем при создании своего исчисления (см. Ганди [1988]). Современные подходы к проблеме вычислимости (такие как машина с неограниченным регистром, описанная Катлендом [1980]) в деталях значительно отличаются от разработанного Тьюрингом и более пригодны для практического использования. Однако понятие вычислимости во всех этих подходах остается неизменным.
Как и многие другие математические идеи, особенно наиболее фундаментальные и красивые, идея вычислимости кажется овеществленной и объективно существующей в платоновском смысле. Именно к этому мистическому вопросу о платоновской реальности математических понятий мы и обратимся в следующих двух главах.
  
Глава 3
 
Математика и действительность
   
Страна Тор'Блед-Нам
 
Представим себе, что мы совершаем большое путешествие в некий далекий мир. Назовем его Тор'Блед-Нам. Наша телеметрическая система зарегистрировала сигнал, вывела его на монитор и, отфокусировав изображение, мы увидели следующую картину (рис. 3.1):