101 головоломка

Рис. 84. Другое кольцо, разрезанное вдоль средней линии. 
Рис. 85. Кольцо после двукратного разрезания.
Но вернемся к разрезанию нашей ленты. Если, разрезав ее вдоль и получив одно кольцо, вы разрежете новое кольцо, у вас получится на этот раз два кольца (рис. 85). Однако разнять их вы не сможете: они запутаны одно в другом сложным гордиевым узлом, который можно рассечь только ножницами.
86. Нехитрый секрет беспроигрышной игры найти довольно легко, если попробовать сыграть партию с конца. Нетрудно видеть, что если предпоследним вашим ходом вы оставите партнеру на столе 5 спичек, то выигрыш обеспечен: партнер не может взять больше 4 спичек, и, следовательно, вы возьмете после него все остальные. Но как устроить, чтобы вы наверняка могли в предыдущий ход оставить на столе 5 спичек? Для этого необходимо, делая этот ход, оставить противнику ровно 10 спичек: тогда, сколько бы он ни взял, он не оставит вам меньше 6 – и вы всегда сможете оставить ему 5. Далее, как сделать так, чтобы партнеру пришлось брать из 10 спичек? Для этого надо в предыдущий ход оставить на столе 15 спичек.
Так, последовательно вычитая по 5, мы узнаем, что на столе надо оставить 20 спичек, а еще ранее 25 спичек и, наконец, в первый раз 30 спичек, т. е., начиная игру, взять 2 спички.Итак, вот секрет беспроигрышной игры: сначала берите 2 спички; затем, после того как партнер взял несколько спичек, берите столько, чтобы на столе осталось 25; в следующий раз оставьте на столе 20, потом 15, потом 10 и, наконец, 5. Последняя спичка всегда будет вашей.
87. Если условие игры обратное, т. е. взявший последнюю спичку считается проигравшим , то вам надо в предпоследний ваш ход оставить на столе 6 спичек: тогда, сколько бы ни взял ваш партнер, он не оставит вам меньше 2 и больше 5, т. е. вы в любом случае сможете последующим ходом последнюю спичку оставить ему. Но как сделать так, чтобы оставить на столе 6 спичек? Для этого нужно в предыдущий ход оставить на столе 11 спичек, а еще в более ранние ходы 16, 21, 26 и 31 спичку. Итак, вы начинаете с того, что берете всего 1 спичку, а дальнейшими ходами оставляете нашему партнеру 26, 21, 16, 11 и 6 спичек; последняя спичка неизбежно достанется противнику.
88. Здесь разыскать способ беспроигрышной игры несколько труднее, чем при игре в «32». Надо исходить из следующих соображений.
1. Если у вас перед концом партии нечетное число спичек, вы должны оставить противнику 5 спичек, и ваш выигрыш обеспечен. В самом деле: в следующий ход противник оставит вам 4, 3, 2 или 1 спичку. Если он оставит
4 – вы берете три спички и выигрываете, если 3 – берете все три и выигрываете; если 2 – берете одну и также выигрываете.
2. Если же перед концом игры у вас оказывается четное число спичек, то вы должны оставить противнику 6 или
7 спичек. В самом деле, последим, как пойдет дальше игра. Если противник следующим ходом оставляет вам 6 спичек, вы берете одну и, обладая теперь уже нечетным числом спичек, спокойно оставляете противнику
5 спичек, с которыми он должен неизбежно проиграть. Если он оставит вам не 6, а 5 спичек, берете 4 и выигрываете. Если оставит 4 – берете все четыре и выигрываете. Если оставит 3 – берете две и выигрываете. И наконец, если оставит 2 – вы тоже выигрываете. Меньше двух он оставить не может.Теперь уже не трудно найти способ беспроигрышной игры. Он состоит в том, чтобы имея нечетное число спичек, оставлять противнику на столе такое, которое на 1 меньше кратного 6, т. е. 5, 11, 17, 23; имея же четное число спичек, оставлять противнику на столе число спичек, кратное 6, или на 1 больше, т. е. 6 или 7, 12 или 13, 18 или 19, 24 или 25. Нуль можно считать четным числом; поэтому, начиная игру, вы должны взять из 27 спичек 2 или 3, а в дальнейшем следовать описанной схеме. Ведя так игру, вы неизбежно выиграете. Не давайте только противнику перехватить у вас инициативу.
89. Если условие игры обратное и выигравшим считается обладатель нечетного числа, вы должны поступать при игре следующим образом: имея четное число спичек, оставляйте противнику на 1 меньше, чем кратное 6, имея же нечетное число, оставляйте ему кратное 6 или на 1 больше. Такая тактика обязательно приведет вас к выигрышу. Начиная игру, вы имеете 0 спичек (т. е. как бы четное число), поэтому первым ходом берете 4 спички, оставляя противнику 23. 
Рис. 86. Четыре равносторонних треугольника из шести спичек (треугольники – грани пирамиды).
90. Вы, вероятно, пытались составить шесть треугольников, располагая спички в одной плоскости. И, конечно, безуспешно, потому что так задачу решить невозможно. Но ведь такого ограничения в задаче нет: вы можете располагать треугольники и не в одной плоскости, т. е. размещать их в пространстве. И тогда она решается очень просто – нужно лишь построить из 6 спичек пирамиду с треугольным основанием и треугольными боками (рис. 86). У вас получится 4 равносторонних треугольника из 6 спичек.
Геометрические силуэты 
Занимательная игра, о которой мы сейчас будем говорить, имеет очень древнее происхождение. Она еще древнее, чем шахматы, хотя гораздо менее известна. Эта игра возникла четыре тысячи лет тому назад в Китае, где первоначально использовалась не для игры, а скорее для обучения. В несколько измененном виде она может служить занимательным развлечением.
Игра заключается в том, что складывают из определенных геометрических фигур, «танграмов», бесчисленное множество всевозможных силуэтов. «Танграмы» названы так оттого, что их придумал, по преданию, некий китаец Тан. Они вырезаются из черного картона или выпиливаются из дерева и представляют собой части квадрата, разделенного известным образом.
Вот как надо разрезать квадрат (рис. 87). Сначала соедините углы В и D, т. е. проведите диагональ BD. Затем соедините середины сторон ВС и DC, т. е. проведите линию KL. Точку А соедините с серединою KL, т. е. с точкой М, а точку М соедините с G, т. е. с серединой ЕВ. Затем К соедините с J (т. е. с серединой DE).
Рис. 87. Как разрезать квадрат на танграмы. 
Рис. 88. Семь танграмов.
Теперь на квадрате есть все нужные линии, и вы можете вырезать по ним танграмы. У вас получаются следующие геометрические фигуры:
5 треугольников (2 больших, 1 средней величины и 2 маленьких); 1 квадрат и 1 параллелограмм (рис. 88). Чтобы привыкнуть к обращению с танграмами, перемешайте все семь танграмов и попытайтесь сложить из них тот квадрат, из которого они получились. Едва ли это удастся вам сразу. Но все же не сдавайтесь, а терпеливо ищите решение. Сложив квадрат, переходите к решению следующих «танграмных» задач.Задачи эти заключаются в том, что из 7 упомянутых фигур необходимо составить определенный силуэт, причем: 1) нельзя накладывать один танграм на другой, хотя бы кончиком, 2) для каждого силуэта должны быть использованы все 7 танграмов. Вы найдете среди прилагаемых силуэтов довольно характерные и удачные изображения, несмотря на их простоту и угловатость контура. Недаром танграмными изображениями увлекались художники (Гюстав Доре), а Наполеон в своем невольном уединении на острове Святой Елены целые часы, говорят, проводил за этой «китайской головоломкой».
91. Игра на бильярде 
Вы видите здесь геометрические силуэты двух игроков, склонившихся над бильярдным столом. Силуэты игроков и бильярдного стола сложены исключительно из танграмов; в состав каждого из этих трех силуэтов вошли все 7 танграмных фигур.
Можете ли вы указать, как эти фигуры сложены?