Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

 
Посвящается Рози
 
  
Предисловие к русскому изданию
 
О том, что готовится русский перевод моей книги, я впервые услышал от переводчика А.М. Семихатова, обратившегося ко мне для уточнения некоторых деталей.
Это известие привело меня в восторг. Мой не слишком убедительный опыт в изучении русского языка описан в примечании  [29]. Стыдно признаться, но с тех пор мое знание русского не сильно продвинулось. Несмотря на это, я по-прежнему испытываю немалую сентиментальную привязанность к этому языку. Азам русского меня обучал преподаватель из Школы славянских и восточноевропейских исследований, расположенной поблизости от того колледжа в Лондоне, где я учился. Мой преподаватель — да простят меня небеса, я позабыл, как его звали, — был из той редкой породы людей, которые действительно искренне любят язык ради самого языка (насколько я понял из нашей электронной переписки, к числу таких людей относится и A.M. Семихатов). Чтобы мы прочувствовали, как в русских словах ставится ударение — а это самый сложный момент для всех иностранцев, изучающих русский, — он заставлял нас учить наизусть короткие отрывки из стихотворений прекрасных русских поэтов. Так что и по сей день я могу наизусть прочитать что-то из Пушкина и Есенина, хотя при этом вряд ли способен заказать по-русски и чашку кофе.
До того как A.М. Семихатов связался со мной, я ничего не знал о фонде «Династия», под эгидой которого был организован перевод моей книги. Я принялся расспрашивать своих русских друзей, те стали расспрашивать своих друзей, и т.д. Теперь я знаю гораздо больше. Я знаю, какую огромную работу по поддержанию замечательных традиций российской науки, и в частности математики, ведет фонд «Династия». И я рад, что часть этих традиций я сумел описать в своей книге. Я благодарен фонду «Династия» за то, что среди других они выбрали для перевода именно мою книгу. Это большая честь для меня.
Главная тема моей книги — Гипотеза Римана и усилия, направленные на ее доказательство, — это всего лишь небольшая часть математики, а сама математика — лишь одно из многочисленных направлений в мыслительном процессе, посредством которого человечество стремится познать ту Вселенную, где нам довелось жить. Тем не менее я надеюсь, что мое повествование достойно передает дух интеллектуальной свободы и честного научного соревнования — двух составляющих, лежащих в основе всего, что мы знаем или надеемся узнать; только они и делают возможными новые открытия и позволяют реализовать знаменитые слова Давида Гильберта, которые я цитирую в главе 16: «Wir mussen wissen, wir werden wissen» — «Мы должны знать, мы будем знать!» Я приветствую деятельность фонда «Династия», направленную на создание условий для этого.
От автора книги такого рода требуется предоставить читателям возможность одновременно и получать удовольствие от чтения, и обучаться чему-то. Удовольствие проще простого испортить плохим переводом. Я уверен, что перевод моей книги — это совсем другой случай, и склонен даже подозревать, что из рук переводчика книга вышла даже в несколько улучшенном виде. Переводческий труд редко бывает благодарной (и хорошо оплачиваемой) работой. Так что авторам остается только надеяться, что с переводчиком им повезет. Судя по нашей переписке и по тем фактам, которые стали мне известны от моих русских друзей, мне и моим русским читателям по-настоящему повезло и такой переводчик, как Алексей Семихатов, — большая удача для всех нас. И я бесконечно благодарен ему за его тщательную и кропотливую работу и за неизменное внимание к деталям.
Напоследок я хочу еще раз поблагодарить фонд «Династия» за то, что их выбор пал именно на мою книгу.
Джон Дербишир
Хантингтон, Лонг-Айленд
Июнь 2008 г.
  
Вступление
 
В августе 1859 года Бернхард Риман стал членом-корреспондентом Берлинской академии наук; это была большая честь для тридцатидвухлетнего математика. В согласии с традицией Риман по такому случаю представил академии работу по теме исследований, которыми он был в то время занят. Она называлась «О числе простых чисел, не превышающих данной величины». В ней Риман исследовал простой вопрос из области обычной арифметики. Чтобы понять этот вопрос, сначала выясним, сколько имеется простых чисел, не превышающих 20. Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих тысячи? Миллиона? Миллиарда? Существует ли общий закон или общая формула, которые избавили бы нас от прямого пересчета?
Риман взялся за эту проблему, используя самый развитый математический аппарат своего времени — средства, которые даже сегодня изучаются только в продвинутых институтских курсах; кроме того, он для своих нужд изобрел математический объект, сочетающий в себе мощь и изящество одновременно. В конце первой трети своей статьи он высказывает некоторую догадку относительно этого объекта, а далее замечает:
 
Хотелось бы, конечно, иметь строгое доказательство этого факта, но после нескольких недолгих бесплодных попыток я отложил поиск такого доказательства, поскольку этого не требуется для непосредственных целей моего исследования.
 
Эта высказанная по случаю догадка оставалась почти незамеченной в течение десятилетий. Но затем, по причинам, которые я поставил себе целью описать в данной книге, она постепенно завладела воображением математиков, пока не достигла статуса одержимости, непреодолимой навязчивой идеи.
Гипотеза Римана, как стали называть эту догадку, оставалась навязчивой идеей в течение всего XX столетия и остается таковой по сей день, отразив к настоящему моменту все без исключения попытки доказать ее или опровергнуть. Эта одержимость Гипотезой Римана стала сильна как никогда после того, как в последние годы были успешно решены другие великие проблемы, долгое время остававшиеся открытыми: Теорема о четырех красках (сформулирована в 1852 году, решена в 1976), Последняя теорема Ферма (сформулирована, по-видимому, в 1637 году, доказана в 1994), а также многие другие, менее известные за пределами мира профессиональных математиков. Гипотеза Римана сегодня — это гигантский Белый Кит математических исследований.
Гипотеза Римана поглощала внимание математиков в течение всего XX века. Вот что говорил Давид Гильберт, один из виднейших математических умов своего времени, обращаясь ко второму международному конгрессу математиков:
 
В теории распределения простых чисел в последнее время Адамаром, де ля Валле Пуссеном, фон Мангольдтом и другими сделаны существенные сдвиги. Но для полного решения проблемы, поставленной в исследовании Римана «О числе простых чисел, не превышающих данной величины», необходимо прежде всего доказать справедливость исключительно важного утверждения Римана <…>.
 
Далее Гильберт приводит формулировку Гипотезы Римана. А вот как сто лет спустя высказался Филип А. Гриффите, директор Института высших исследований в Принстоне, а ранее — профессор математики в Гарвардском университете. В своей статье, озаглавленной «Вызовы исследователям XXI века», в январском номере Journal of the American Mathematical Society за 2000 год он пишет:
 
Несмотря на колоссальные достижения XX века, десятки выдающихся проблем все еще ожидают своего решения. Наверное, большинство из нас согласится, что следующие три проблемы относятся к числу наиболее вызывающих и интересных.
 
Первой из них является Гипотеза Римана, которая дразнит математиков уже 150 лет <…>.
 
Интересным явлением в Соединенных Штатах в последние годы XX века стало появление частных математических исследовательских институтов, финансируемых богатыми любителями математики. И Математический институт Клея (основанный в 1998 году бостонским финансистом Лэндоном Т. Клеем), и Американский математический институт (основан в 1994 году калифорнийским предпринимателем Джоном Фраем) ориентировали свои исследования на Гипотезу Римана. Институт Клея установил премию в миллион долларов за ее доказательство или опровержение. Американский математический институт обращался к Гипотезе на трех полномасштабных конференциях (в 1996, 1998 и 2000 годах), собравших исследователей со всего мира. Помогут ли эти новые подходы и инициативы в конце концов победить Гипотезу Римана, пока не ясно.