Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики-без таблиц]

Какъ видите, читатель, зд?сь вм?сто слова цифра употребляется знаменованіе, а цифрой называется одинъ только нуль.
Таково происхожденіе слова «цифра». Чтобы перейти къ выговариванію чиселъ, прежде всего скажемъ, что всякій народъ, какой бы системой счета онъ ни пользовался, всегда д?лилъ многозначныя числа, для удобства выговариванія и письма, на классы. Греки въ основу класса полагали 4 разряда: это, такъ наз., счетъ миріадами. Римляне же составляли классъ изъ 3 разрядовъ. Нашъ настоящій порядокъ, во всей его основ?, прим?няться сталъ съ XVI стол?тія, при чемъ въ н?которыхъ странахъ классъ составляется не изъ Зхъ, а изъ 6-ти разрядовъ, подразд?ляющихся, въ свою очередь на два подкласса, по 3 разряда въ каждомъ. Подобная система въ 6 разрядовъ ведетъ свое начало отъ голландскаго математика Альберта Жирара (1629 г.). Кстати можно вспомнить, что и у грековъ было н?что въ этомъ род?. Напр., великій математикъ Архимедъ, когда ему надо было выговаривать большія числа, считалъ въ каждомъ класс? по 8 разрядовъ, вм?сто 4-хъ.
Классы отд?лялись другъ отъ друга при письм? различно: то между ними ставили черточки, то оставляли промежутки, иногда пользовались дугами, точками. Въ старинныхъ н?мецкихъ учебникахъ можно чаще всего встр?тить точки, и при томъ между 1 и 2 классомъ ставилась одна точка, между 2 и 3—дв? и т. д., все больше и больше. Это помогало выговариванію. Въ самое посл?днее время (съ 8 окт, 1877 г.) принято въ Германіи и даже утверждено Союзнымъ сов?томъ, чтобы классъ отъ класса отд?лялся промежутками, но никакъ не точкой, запятой и черточкой. Съ т?хъ поръ во многихъ математическихъ книгахъ стали пользоваться именно этимъ порядкомъ.
Названіе большихъ чиселъ, начиная съ милліона, стали объединяться и вырабатываться прежде всего въ Италіи, которая въ начал? новыхъ в?ковъ справедливо могла считаться колыбелью математики. Такъ, терминъ «милліонъ» вошелъ тамъ въ употребленіе въ конц? XV в?ка. Слово «милліардъ», въ смысл? тысячи милліоновъ, образовалось во Франціи въ первой половин? XIX в?ка. Билліонъ и трилліонъ введены въ XVII стол?тіи; но къ новымъ терминамъ привыкаютъ очень медленно, а поэтому и въ XVI стол?тіи можно было натолкнуться на такое чтеніе: 23 раза по тысячью тысяч? тысячъ, 456 разъ по тысяч? тысячъ, 345 тысячъ 678: все это равно числу 23 456 345 678
 
Число и порядокъ д?йствій, знаки и опред?ленія
На вопросъ, сколько ари?метическихъ д?йствій, теперь всякій, даже недоучившійся въ школ?, можетъ отв?тить, что ихъ—четыре: сложеніе, вычитаніе, умноженіе и д?леніе. Но не всегда было такъ; прежде д?йствій насчитывали больше: 5, 6, 7, и даже 9. Откуда же ихъ столько брали? Очевидно, изъ того же источника, т.-е. изъ ари?метики, но съ разд?леніемъ и дополненіемъ. Во-первыхъ, нумерацію принимали за особое д?йствіе и такимъ образомъ насчитывали 5. Во-вторыхъ, долгое время у большинства писателей выд?лялись еще въ особыя правила удвоеніе и раздвоеніе. Выходитъ д?йствій семь. Къ нимъ иногда присоединяли возвышеніе чиселъ въ степень и извлеченіе корня, и получалось 9.
Происходила эта путаница отъ того, что авторы никакъ не могли согласиться, что разум?ть подъ д?йствіемъ. Мы разум?емъ подъ нимъ составленіе новаго числа по даннымъ числамъ и потому не считаемъ нумерацію за д?йствіе.
Удвоеніе числа и д?леніе пополамъ изстари, съ глубокой древности, еще со временъ египтянъ, считалось не видомъ умноженія и д?ленія, а особымъ д?йствіемъ. Впрочемъ, отъ египтянъ его переняли не столько римляне, сколько арабы. Поэтому въ борьб? новой арабской ари?метики со старой римской, когда въ XIII–XIV вв. столкнулись латинская схоластика съ индусской математикой, удвоеніе и раздвоеніе стояли на знамени новой науки и усиленно рекомендовались въ качеств? очень полезной и важной м?ры для лучшаго усвоенія д?йствій. Ученый англичанинъ Сакро-Боско, жившій въ XIII стол?тіи, рекомендовалъ начинать д?леніе пополамъ справа, т.-е. съ низшихъ разрядовъ, подобно сложенію и вычитанію, а удвоеніе—сл?ва, съ высшихъ разрядовъ, какъ это д?лалъ онъ и въ умноженіи вообще и въ д?леніи. Сейчасъ намъ совершенно непонятно, какія такія удобства могли бы представиться, если бы начинать д?леніе справа, а умноженіе сл?ва; мы, по крайней м?р?, стали бы производить эти д?йствія совершенно наоборотъ. Нав?рное, такія же причины заставили и среднев?ковыхъ математиковъ поглубже вдуматься, есть ли, д?йствительно, польза отъ того, чтобы удвоеніе и раздвоеніе отличать отъ простого умноженія и д?ленія; пришлось сознаться, что это только частные случаи главныхъ д?йствій; первый, кто авторитетно заявилъ объ этомъ, былъ итальянецъ Лука Пачіоло (1500 г.). Онъ перешелъ къ нашему обыкновенному способу д?ленія.
Возвышеніе чиселъ въ квадратъ и кубъ и извлеченіе корней считалось необходимой принадлежностью ари?метики почти до самаго посл?дняго времени. Эти два правила пом?щались въ ари?метик? до 50-хъ и даже 60-хъ годовъ истекшаго [6] стол?тія. Теперь ихъ пропускаютъ, потому что, чтобы ихъ выяснить толково, надо знать алгебру, и, сл?д., лучшее имъ м?сто въ алгебр?.
Арабскій математикъ Аль-Ховаризми (въ IX в. по Р. X.), въ честь котораго и вся система арабской ари?метики получила названіе алгоритма, не считалъ нумерацію за д?йствіе и принималъ только сл?дующія ш?сть: сложеніе, вычитаніе, д?леніе пополамъ, удвоеніе, умноженіе и д?леніе. Посл?довательность д?йствій у него, какъ видимъ, очень оригинальная, хотя ей нельзя отказать въ большой дол? ц?лесобразности, въ смысл? перехода отъ легкаго къ бол?е трудному. Когда удвоеніе и раздвоеніе были оставлены, то многіе математики начали посл? сложенія проходить прямо умноженіе, а потомъ ужъ вычитаніе съ д?леніемъ. И они поступали въ этомъ случа? основательно, потому что умноженіе опирается на сложеніе, а д?леніе можетъ приводиться къ повторительному вычитанію д?лителя изъ д?лимаго.
Въ только что минувшемъ XIX стол?тіи н?которые н?мецкіе педагоги придумали изъ одного д?ленія образовать 2 д?йствія, именно, во-первыхъ, когда требуется разд?лить число на н?сколько равныхъ частей, и, во-вторыхъ, когда надо узнать, сколько разъ одно число содержится въ другомъ. Такое разд?леніе надо признать излишнимъ, тутъ вовсе н?тъ 2-хъ различныхъ д?йствій, а есть только два вида одного д?йствія, при чемъ въ первомъ вид? отыскивается множимое по произведенію и множителю, а во второмъ — множитель по произведенію и множимому. Отд?льные знаки для этихъ 2-хъ видовъ мы также полагали бы лишними: д?лимъ ли мы, наприм., на пятерыхъ или д?лимъ на пятки, и тутъ, и тамъ все д?лимъ, поэтому и можно удовольствоваться однимъ знакомъ.
Поговоримъ теперь о знакахъ ари?метичесвихъ д?йствій и прежде всего отм?тимъ, что потребность въ знакахъ начала чувствоваться такъ же давно, какъ и потребность въ цифрахъ. Какъ цифрами первоначально служили наглядныя фигуры и буквы алфавита, такъ и знаки образовались изъ чертежей и тоже буквъ. Еще древніе египтяне употребляли при сложеніи н?что въ род? нашего плюса. У грековъ знакомъ сложенія являлась косая черта, при вычитаніи писалась кавычка, и знакомъ равенства служила дуга (см. приложеніе 11-е въ конц? книги). Поздн?е (въ IV в. по Р. X.) Діофантъ Александрійскій, знаменитый греческій геометръ; ввелъ вм?сто знака равенства букву і, начальную букву слова «????», что значитъ «равны». Арабы вовсе не употребляли знака сложенія въ томъ случа?, когда количества писались рядомъ, потому что, д?йствительно, зд?сь можно подразум?вать сложеніе само собой. Знакъ вычитанія у нихъ писался въ вид? ц?лаго слова, которое, въ перевод? на русскій языкъ, значитъ «безъ». Вычитаемое арабы ставили нал?во, а уменьшаемое— направо, потому что они, подобно вс?мъ семитическимъ народамъ, располагали слова отъ правой руки къ л?вой, а не отъ л?вой къ правой, какъ мы. Знакомъ равенства у нихъ было S; это есть посл?дняя буква слова «равняется». Нашъ настоящій знакъ равенства введенъ въ алгебру Робертомъ Рекордомъ въ 1556 году. Косой крестъ при умноженіи окончательно предложенъ Уттредомъ въ 1631 году. Но и до него этотъ знакъ употреблялся очень чагсто и считался очень удобнымъ, потому что онъ указывалъ не только д?йствіе, но и порядокъ д?йствія. Именно, старинный употребительный способъ умноженія былъ способъ «крестика», въ такомъ род?: