Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики-без таблиц]

 
Таблица умноженія
Твердое знаніе таблицы умноженія издавна требовалось отъ учениковъ и считалось совершенно необходимымъ. Составителемъ таблицы называютъ греческаго математика Пи?агора или, в?рн?е, одного изъ его поздн?йшихъ учениковъ, новопи?агорейца Никомаха (въ I ст. по Р. X.). Начиная съ Никомаха ни одинъ авторъ не забываетъ напоминать, что «преимущественно передъ вс?мъ сл?дуетъ хорошо знать таблицу». Авторы старинныхъ русскихъ математнческихъ сборниковъ также пом?щаютъ таблиду, или «границу умножалную» подъ титуломъ «граница изустная большему счету разумъ подаетъ хотящему въ нея зр?ти»; они тоже требуютъ заучиванія: «надобе сіи изустныя слова памятовати и въ памяти кр?пко держати, всегда во уст?хъ обносити, чтобы во ум? незабыты были». Вотъ стихи изъ Магницкаго:
«Аще кто не твердитъ,
Таблицы и гордитъ
Не можетъ познати,
Числомъ что множати.
И во всей науки,
Не свободъ отъ муки.
Колико ни учитъ
Туне ся удручитъ.
И въ пользу не будетъ,
Аще ю забудетъ».
Въ римскихъ школахъ таблицу заучивали хоромъ на расп?въ. Въ нашихъ современныхъ учебникахъ по ари?метик? таблица умноженія содержитъ въ себ? обыкновенно произведенія вс?хъ однозначныхъ чиселъ, начиная съ 2?2 и кончая 9?9. Въ средніе в?ка смотр?ли на это д?ло иначе; тогда и въ ари?метик?, и въ другихъ наукахъ давали большой просторъ памяти, а поэтому заучиваніе прим?няли широко; требованія въ этомъ отношеніи простирались такъ далеко, что ученики обязаны были запоминать произведенія вс?хъ первыхъ сорока чиселъ на однозначныхъ множителей, сл?довательно 360 произведеній, кром? того, квадраты вс?хъ чиселъ, выраженныхъ полными десятками, кончая 90X90, и произведенія вс?хъ однозначныхъ чиселъ на полные десятки, кончая 9?90. Всего набирается бол?е 400 произведеній. И такую-то массу должна была поглотить память учащихся! Сколько же труда и сколько времени надо было истратить на это! В?дь учили прямо наизусть, безъ всякихъ разъясненій и въ громадномъ большинств? случаевъ безъ всякаго пониманія. Трудно и теперь ребятамъ, когда ихъ заставляютъ заучивать таблицу умноженія, не напрактиковавши ихъ, какъ она составляется; но неизм?римо трудн?е приходилось ученивамъ среднев?ковой школы, въ которой требовали гораздо больше, а давали гораздо меньше. [7]
Римляне, чтобы облегчить себ? перемноженіе чиселъ, содержащихъ много разрядовъ, пользовались длинн?йшими таблицами умноженія, въ которыхъ множителями служили вс? числа до изв?стнаго пред?ла. Съ такими таблицами—ихъ, конечно, не заучивали, а только держали всегда записанными подъ рукой—римляне довольно быстро вычисляли сложныя и трудныя произведенія.
Письменно таблица представляется въ различныхъ формахъ. Изъ нихъ самая общеизв?стная—Пи?агорова таблица; ея мы не пом?щамъ, она есть въ каждомъ учебник?. Но есть еще фигура треугольника.
Французскій математикъ Chuquet (1484 г.) представляетъ таблицу умноженія въ такой форм?:
Про то, какъ составляется обыкновенная таблица умноженія, говорилось подробно въ большинств? учебниковъ и объяснялось н?сколькими, иногда многими способами. Но пропускался самый главный и простой способъ, когда таблицу составляютъ посл?довательнымъ сложеніемъ, или набираніемъ. Вм?сто него приводились такіе запутанные и искуственные пріемы, что, д?йствительно, гораздо легче было выучить таблицу наизусть, не понимая ея, ч?мъ запомнить эти пріемы и особенно понять ихъ; они представляли изъ себя не столько ари?метическое содержаніе, сколько алгебраическія формулы и пом?щались, какъ видно, больше для того, чтобы придать курсу серьезную, научную окраску. Между прочимъ, встр?чаемъ въ старыхъ ари?метикахъ такое правило: «умножь перваго производителя на 10 и вычти отсюда произведеніе того же перваго производителя на дополненіе второго производителя до десяти»; это ясн?е видно на прим?р?: чтобы составить, наприм?ръ, 4?7, надо 4 умножить на 10, будетъ 40, потомъ 4 на 3, потому что 3 служитъ дополненіемъ 7-ми до 10, будетъ 12, и, наконецъ, изъ 40 вычесть 12, тогда остатокъ 28 и составитъ произведеніе 4 на 7. Какія все это лишнія хлопоты и затрудненія! Они всегда неизб?жны, если на д?ло смотр?ть не прямо и просто, а съ предвзятой точки зр?нія, и въ данномъ случа? съ той ошибочной точки зр?нія, что будто бы ч?мъ объясненіе или способъ трудн?е, т?мъ научн?е. Не можетъ же быть, чтобы авторы учебниковъ, люди довольно искусные въ изобр?теніи разныхъ пріемовъ, не зам?чали среди нихъ самыхъ простыхъ и естественныхъ; но они какъ бы ст?снялись высказать простое слово.
Педагогика римлянъ и грековъ въ этомъ отношеніи гораздо разумн?е среднев?ковой, она смотр?ла на науку практичн?е и старалась сд?лать ее ясной и доступной. Не даромъ римлянамъ принадлежитъ ум?нье составлять таблицу на пальцахъ, о чемъ сказано выше.
 
Развитіе нормальнаго пріема умноженія
Намъ, привыкшимъ къ опред?ленному порядку умноженія, представляется ч?мъ-то страннымъ, что могутъ существовать еще другіе способы; настолько мы сжились съ своимъ. А между т?мъ ихъ очень много, и ни въ какомъ другомъ д?йствіи не встр?чается такого большого разнообразія, какъ въ умноженіи. Въ старину всякій авторъ выбивался изъ силъ, чтобы дать отъ себя какое-нибудь изм?неніе или улучшеніе. Мы приведемъ всего 27 способовъ, не ручаясь, конечно, за то, что зд?сь они вс? безъ остатка; весьма возможно, что есть и еще, скрытые въ тайникахъ книгохранилищъ, разбросанные въ многочисленныхъ, главнымъ образомъ, рукописныхъ сборникахъ. Мы начнемъ съ современнаго нормальнаго способа и постепеино перейдемъ къ т?мъ, которые бол?е всего отъ него уклоняются.
1. Авторомъ нашего нормальнаго способа умноженія многозначнаго числа на многозначное сл?дуетъ считать Адама Ризе, популярнаго н?мецкаго педагога (1492–1559). Въ его рукахъ онъ получилъ посл?днюю отд?лку и завершеніе, и теперь онъ считается самымъ удобнымъ. Главное отличіе способа Адама Ризе заключается въ томъ, что разряды вс?хъ чиселъ и множимаго, и множителя, и произведенія стоятъ одинъ подъ другимъ въ одномъ вертикальномъ столбц?; благодаря этому сразу видно, къ какому разряду принадлежитъ изв?стная цифра, и, сл?д., сбиться въ этомъ почти нельзя. Между т?мъ, разстановка разрядовъ бываетъ самымъ труднымъ м?стомъ при умноженіи, въ чемъ вы, читатель, уб?дитесь, когда просмотрите остальные способы. Среди нихъ есть и бол?е скорые, но н?тъ ни одного такого, который представлялъ бы мен?е возможности сбиться. Прим?ра на первый способъ мы прод?лывать не будемъ, такъ какъ всякій самъ сум?етъ его придумать и р?шить. Скажемъ еще разъ: нашъ настоящій нормальный порядокъ умноженія бол?е всего напоминаетъ вычисленіе по колоннамъ абака, настолько выдержано въ немъ подписываніе однихъ и т?хъ же разрядовъ въ вертикальномъ столбц?.
2. Первый способъ непосредственно образовался изъ второго, отъ котораго отличается такою особенноетью: мы теперь не пишемъ лишняго нуля у второго неполнаго произведенія, двухъ нулей у третьяго и т. д., потому что ставимъ десятки подъ десятками, сотни подъ сотнями, и не боимся сбиться; но прежде вс? эти лишніе нули писались аккуратно: мы теперь ясно видимъ, что нули безполезны, но математики до Адама Ризе не р?шались ихъ отбрасывать и считали ихъ по большей части совершенно необходимыми. Этотъ второй способъ им?лъ у итальянскихъ математиковъ особое названіе «per castellucio». Прим?ръ:
Для начинающихъ учиться умноженію не худо и теперь приписывать нули къ произведеніямъ множимаго на десятки, сотни и т. д. Тогда д?тямъ понятн?е будетъ, что для умноженія, въ нашемъ случа? на 90, необходимо умножить на 9 и считать полученное число за десятки. А потомъ, когда д?ти поймутъ это и н?сколько привыкнутъ, можно нули выпускать и пользоваться чистымъ первымъ способомъ.