Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики-без таблиц]

2) Альнасави, арабскій писатель XI в?ка, н?сколько упрощаетъ письмо и даетъ хоть небольшой просторъ устному счету. 2852:12 онъ р?шаетъ такъ:
Интересно отм?тить, какъ Альнасави изображаетъ частное. Ц?лое число 237 онъ пишетъ вверху, подъ нимъ остатокъ, а подъ нимъ уже д?лителя; все это считается обозначеніемъ см?шанной дроби 2378/12.
Греческій монахъ Максимъ Планудесъ, одинъ изъ немногихъ представителей византійской учености, даетъ еще бол?е легкій образецъ д?ленія, но, конечно, Планудесъ потому такъ легко справляется, что прим?ръ-то самъ по себ? не замысловатъ. 4865 : 5=973. Вычисленіе идетъ такъ:
4) Алькальцади, жившій въ XV ст., хотя и является заключительнымъ звеномъ въ блестящей ц?пи арабскихъ математиковъ, но все-таки не можетъ обойтись безъ того, чтобы не переписать д?лителя н?сколько разъ даже въ легкомъ прим?р?. 924 : 6 у него представляется въ такомъ вид?:
3 2
9 2 4
6 6 6
——————
1 5 4
Частное въ самомъ низу, д?литель надъ нимъ, еще выше д?лимое и, наконецъ, въ самой верхней строк? посл?довательные остатки.
5) Петценштейнеръ въ XV ст., н?мецкій пегагогъ, нисколько не изм?няетъ основного хода д?йствія и всего только вводитъ ту подробность, что пишетъ частное справа за чертой. Дано разд?лить 467 на 19.
Получается довольно красивое расположеніе, съ ясной наклонностью къ симиетріи. Начиная съ этихъ поръ, математики обращаютъ вниманіе на то, чтобы груда цифръ не представляла собой чего-то безпорядочнаго и несимметричнаго, а образовывала изящную фигуру, построенную по изв?стной иде?. Особенно любили изощряться надъ построеніемъ фигуръ итальянцы, и надо отдать имъ справедливость, что они много усп?ли въ этой безполезной и даже вредной игр?; в?дь всякая погоня за ненужнымъ и постороннимъ вредитъ, въ конц? концовъ, главной и существенной ц?ли; такъ и зд?сь, одинъ авторъ передъ другимъ старались придумать что-нибудь оригинальное, красивое и стройное по вн?шнему виду, но забывали главное достоинство, т.-е. быстроту вычисленій, удобство и в?рность.
6) Лука-де-Бурго ухитрился представлять д?леніе фигурой корабля съ трюмомъ, рулемъ, мачтами и парусами.
Дальше этого идти ужъ трудно и путь всевозможныхъ ухищреній можно считать исчерпаннымъ. Хорошо еще, что педагоги тогдашняго времени большею частію не неволили учениковъ къ тому, чтобы они непрем?нно ум?ли строить эти изящныя фигуры; они обыкновенно предпочитали только хвастаться другъ передъ другомъ, кто сколько знаетъ способовъ и кто сколько изобр?лъ.
Какъ видимъ изъ фигуры, частное 9876 стоитъ съ правой стороны у знака д?ленія (угла); л?в?е, въ одной съ нимъ строк?. располагается д?лимое; что же касается д?лителя 9876, то онъ пом?щенъ четыре раза: первый разъ подъ д?лимымъ, второй разъ онъ расчлененъ на 987 и 6, третій разъ на 98, 7, и 6, и, наконецъ, въ посл?дній разъ на 9, 8, 7 и 6, при чемъ 9 стоитъ въ самомъ низу, 8 во второй строк? снизу, 7 въ третьей снизу, и 6 въ четвертой, подъ д?лимымъ, на самомъ правомъ м?ст?. Д?йствіе начинается съ того, что 97535 д?лится на 9876, въ частномъ получается 9; те-перь надо 9876 умножить на 9 и полученное произведеніе вычесть изъ 97535, при чемъ умноженіе начинается съ высшихъ разрядовъ, вычитаніе производится одвовременно съ нимъ. 9 ? 9 = 81, 8 изъ 9 = 1, 1 пишемъ надъ 9-ю, 1 изъ 7 = 6, пишемъ 6 надъ 7-ю; дал?е 8 ? 9 = 72, вычитаемъ 7 изъ 16-ти, получается 9, пишемъ эти 9 надъ 6-ю, а надъ единицей пишемъ 0; такъ продолжаемъ вычисленіе все дал?е и дал?е, до т?хъ поръ, пока не кончимъ его.
Требуется большая, можно сказать, необыкновенная внимательность, чтобы не сбиться и не спутать въ такомъ ряд? вычисленій. Положимъ, что передвиженіе д?лителя помогаетъ разбираться скор?е и в?рн?е въ разрядахъ, но все-таки изб?жать ошибокъ очень трудно, а между т?мъ, стоитъ только допустить ошибку, и все кончено: все надо перед?лывать снова, потому что выд?лить в?рное отъ нев?рнаго нельзя. Если же къ этому еще вспомнить, что при д?леніи легко попасть на цифру частнаго, которая слишкомъ велика или слишкомъ мала, то мы вполн? себ? представимъ, сколько попытокъ и при-томъ какихъ отчаянныхъ попытокъ стоило в?рное вычиеленіе частнаго. Современники передаютъ, что, чтобы р?шить прим?ръ на д?леніе — на это требовалось сутки времени. Не даромъ Гербертъ (папа Сильвестръ II), жившій, правда, н?сколько ран?е разсматриваемаго періода, считадъ возможнымъ преподавать ари?метику только особенно одареннымъ ученикамъ. Святой Бонифацій пишетъ, что 
«при одной мысли о математическихъ наукахъ у меня отъ страха захватываетъ дыханіе. Передъ ними вся грамматика, реторика и діалектика—просто д?тская забава».
 7) Французскій математикъ Ла-Рошъ (въ ХVI ст.) понялъ, что выгодн?е начинать умноженіе съ низшихъ разрядовъ, потому что тогда будетъ легче вычитать; но и отъ стараго пріема онъ не р?шается отказаться, поэтому даетъ и то и другое расположеніе, начиная въ первомъ случа? умноженіе съ низшихъ разрядовъ, а во второмъ съ высшихъ. Пусть будетъ д?лимое 7985643, д?литель 1789, тогда въ частномъ получается 4463.
Ла-Рошъ стремится, очевидно, къ тому, чтобы получить красивую фигуру треугольника; онъ не прочь, подобно Лук?де-Бурго, пожертвовать удобствомъ вычисленій въ пользу второстепенной ц?ли — изящества.
Бешенштейнъ и Ризе, н?мецкіе педагоги XVI ст., даютъ подобные пріемы д?ленія.
8) Штифель и Петръ Рамусъ д?лаютъ попытки помочь вычисленію и предлагаютъ: Штифель—вычитать частныя произведенія сразу, посл? того, какъ они уже составлены, а не по отд?льнымъ разрядамъ, какъ только они получаются; Рамусъ — заготовлять заран?е произведенія д?лителя на вс? однозначныя числа. 
«Правда, это кропотливо,— говоритъ онъ,—но зато полезно».
 9) Изложенный способъ д?ленія, испанскій, какъ называетъ его Пешекъ, отличается той характерной чертой, что вс? промежуточныя вычисленія пишутся выше д?ламаго, поэтому онъ получилъ у н?мецкихъ математиковъ названіе д?ленія «вверху» — «ueberwarts» или «uebersich»—dividieren, въ противоположвость нашему нормальному пріему, которому придали названіе д?ленія «внизу», на томъ основаніи, что все вычисленіе сосредоточивается ниже д?лимаго.
Д?леніе «вверху», какъ мы уже упоминали, являлось самой распространенной и употребительной формой вплоть до начала XIX -го в?ка. Къ этому времени были сознаны, наконецъ, его неудобства, и оно мало-помалу стало уступать свое м?сто нормальному, практикуемому въ настоящее время, пріему. Въ русекихъ ари?метикахъ ХТІІ в?ка находимъ такой прим?ръ д?ленія: 5692597 : 3625 = 1570 1347/3625.
Въ сущности, тотъ же ромбъ, что и выше. У Магницкаго вычисленіе въ этомъ же род?, при чемъ частное располагается съ правой стороны и отд?ляется скобкой. 9649378 : 5634.
Выпишемъ кстати изъ Магницкаго объясненіе, которое онъ проводитъ на прим?р? 1952 : 32. 
«Подобаетъ в?дати, яко егда д?литель им?етъ не едино число, но два 32 или три 432, и тогда такожде подписуются числа д?лителя, подъ болшая себе, д?лимаго сице.
1 9 5 2
 3 2
И умствуется тако: яко елико первымъ числомъ д?лителя, емлеши изъ верхнихъ числъ д?лимаго толикожде бы взяти, и другимъ числомъ д?лителя, изъ т?хъ же числъ д?лимаго, якоже зд?: 1
1 9 5 2 ( 6
 3 2
Изъ 19 взяти на 3, по 6: по толику же бы взяти, и изъ 15, на 2: и останется изъ 15, 3, еже напиши надъ 5-ю, а прочая пох?рь сице (вc? цифры, кром? 3, 2 и 6, перечеркиваются).