Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики-без таблиц]

Д?йствительно, остатокъ отъ 370:9 будетъ 1, отъ 581 остатокъ будетъ 5 и отъ суммы данныхъ чиселъ, т.-е. отъ 951, остатокъ будетъ тоже 5+1 = 6 (иногда, впрочемъ, изъ суммы остатковъ приходится выкидывать одну или н?сколько девятокъ, напр., если бы слагаемыми были 375 и 581, то сумма остатковъ составила бы 11. а остатокъ суммы равнялся бы 2, т.-е. 11—9). Эти числа 1, 5, 6 носятъ названіе пов?рочныхъ чиселъ, сл?д. 1 будетъ пов?рочнымъ числомъ для 370-ти, 5 для 581 и 6 для 951. Огсюда ясно вытекаетъ правило: пов?рочное число суммы равно сумм? пов?рочныхт чиселъ вс?хъ слагаемыхъ. Точно также при вычитаніи: пов?рочное число разности соотв?тствуетъ разности пов?рочныхъ чиселъ уменынаемаго и вычитаемаго; или иначе: пов?р. число уменьшаемаго равно сумм? пов?рочныхъ чиселъ вычитаемаго и разности. При умноженіи правило такое: пов?р. число произведенія соотв?тствуетъ произведенію пов?р. чиселъ множителей; и, наконецъ, при д?леніи нов?р. число д?лимаго со-отв?тствуетъ произведенію пов?рочныхъ чиселъ д?лителя и частнаго.
За исключеніемъ сложенія, при каждомъ д?йствіи им?ется 4 по-в?рочныхъ числа, и они, обыкновенно, располагались такъ, что получалась фигура косого креста. Прим?ръ: 525 разд?лить на 15, получится въ частномъ 35. Тогда пов?рка представляется сл?дующимъ крестомъ:
 \ 3 /
6 \ / 8
  / \
  / 3 \
Н?которые математики, приверженцы совершенной точности и полной безошибочности, находили, что пов?рка числомъ 9 далеко не безупречна и можетъ повести къ ошибкамъ. Завис?ть он? могутъ отъ такихъ причинъ. Во-первыхъ, различныя по величин? числа, но только отличающіяся другъ отъ друга на ц?лое число девятокъ, им?ютъ пов?рочныя числа одинаковыя; напр., числа 172 и 1081. Во-вторыхъ, этой пов?ркой нельзя открыть пропуска нулей или же излишка нулей: числа 105, 1050, 15 даютъ одинаковыя пов?рочныя числа. Въ третьихъ, перестановка цифръ точно также не можетъ быть открыта этой пов?ркой, такъ какъ, напр., числа 78932 и 87932 даютъ одинаковыя пов?рочныя числа. Итакъ, пов?рка числомъ 9 ненадежна. Поэтому, лучшіе авторы XVI—XVII в. рекомендуютъ еще пов?рку числомъ 7. Она основана на томъ же, на чемъ и предыдущая, и сл?д. при ней изъ данныхъ и иекомыхъ чиселъ выкидываютъ возможное число семерокъ, а съ остатками поступаютъ точно такимъ же образомъ, какъ и при пов?рк? числомъ 9. Въ этомъ случа? ужъ можно обнаружить и перестановку цифръ, и пропускъ нулей.
Казалось бы, что вполн? достаточно пов?рки числомъ 9 и числомъ 7 для того, чтобы можно было успокоиться и уб?диться, что отв?тъ в?ренъ. Но н?тъ, Рудольфъ и Апіанъ (въ XVI ст.) объясняютъ, что пов?рять можно такимъ же путемъ, какъ и выше, еще съ помощью чиеелъ 8, 4, 6.
Фишеръ (въ 1559 г.) пров?ряетъ свои вычисленія числами 5, 6, 7, 8, 9, 11.
Но такое большое количество искусственныхъ пов?рокъ приводило многихъ авторовъ прямо къ отрицанію ихъ необходимости и пользы. Петръ Рамусъ, изв?стный французскій ученый и математикъ (ум. 1572 г.), говоритъ, что вс? эти ухищренія излишни и ненужны, и что если кому требуется пов?рить д?йствіе, то пусть онъ перед?лаетъ его снова и больше ничего; такъ будетъ лучше и въ томъ отношеніи, что, перед?лывая снова, мы можемъ не только открыть присутствіе ошибки, но и исправить ее.
Лука де-Бурго смотритъ на д?ло хладнокровн?е. Онъ не отрицаетъ совершенно пров?рки, но только сов?туетъ д?лать ее, по возможности, проще. Именно онъ указываетъ для этого 2 способа. Во-первыхъ, можно то же д?йствіе произвести еще разъ и только изм?нить его порядокъ, напр., при сложеніи н?сколькихъ чиселъ, если мы сперва складывали сверху внизъ, то потомъ надо пересложить снизу вверхъ. Во-вторыхъ, всякое д?йствіе пов?ряется своимъ обратнымъ: вычитаніе сложеніемъ, д?леніе умноженіемъ и т. п.
 
Происхожденіе м?ръ.
Вс? предыдущія объясненія, которыя изложены до настоящей главы, касались счета и вычисленій, т.-е. т?хъ умственныхъ отправленій челов?ка, которыя составляютъ наибол?е характерную и общую черту его природы.
Д?йствительно, потребность считать привадлежитъ вс?мъ людямъ и составляетъ необходимую часть ихъ мышленія. Поэтому естественно, что и проявленіе этой всеобщей потребности и присущей вс?мъ способности тоже носитъ въ себ? много общаго и неизм?ннаго у вс?хъ народовъ и во вс? времена. Въ счет? и вычисленіи н?тъ м?ста произволу и очень мало м?ста для свободнаго выбора: все совершается по общему закону, предустановленному психической организацею челов?ка. Не то мы видимъ въ изм?реніи и оеобенно въ выбор? м?ръ. Вотъ ужъ именно «что городъ, то норовъ, что деревня, то обычай!» Каждое маленькое государство, каждый хоть немножко самостоятельный народъ, каждый городъ, каждый уголокъ стремится изм?рять своими м?рами, да и т? еще усп?ваетъ перем?нить н?сколько разъ съ теченіемъ времени. Просл?димъ вкратц? эту изм?нчивость м?ръ и постараемся извлечь изъ нея т? немногія руководящія основанія, которымъ подчиняется выборъ м?ръ, а для этого возьмемъ отъ каждаго народа то, что бол?е всего прим?чательно.
Древній міръ признавалъ египтянъ творцами системы м?ръ. Еще въ доисторическія времена египтяне принимали 365 дней въ году; имъ же принадлежитъ введеніе високоснаго года въ 366 дней черезъ каждые 3 простыхъ, при чемъ установленіе это приписывается царю Канопу и относится къ 238 г. до Р. X. Оть египтянъ этотъ порядокъ былъ заимствованъ Юліемъ Цезаремъ и введенъ имъ во всемъ римскомъ государств?, онъ же держится и у насъ теперь подъ именемъ юліанскаго л?тосчисленія. Счетъ по нед?лямъ и по м?сяцамъ точно также былъ изв?стенъ египтянамъ.
Вавилоняне зам?чательны т?мъ, что они стремились объединить всю систему м?ръ и привести ее къ одной основной единиц?. Эта глубокая мысль занимала потомъ многихъ математиковъ, цринадлежавшихъ къ различнымъ національностямъ, и нашла себ? выраженіе только очень недавно, именно съ введеніемъ метрической систеиы м?ръ. Съ этой ц?лью вавилоняне пользовались особымъ священнымъ сосудомъ опред?ленныхъ разм?ровъ, который они хранили въ надежномъ м?ст?. Длина ребра этого сосуда принималась за единицу длины. Когда же этотъ сосудъ наполнялся водой, то в?съ воды, вытекавшей изъ него въ опред?ленное время, принимался за единицу в?са и назывался талантомъ; талантъ разд?лялся на 60 минъ. Отъ вавилонянъ онъ перешелъ къ другимъ сос?днимъ народамъ, напр., грекамъ, евреямъ, но при этомъ не всегда и не везд? онъ сохранялъ свою первоначальную величину. Обыкновенный греческій талантъ в?силъ слишкомъ 1? пуда и разд?лялся на 6000 драхмъ.
Талантъ не особенно изв?стенъ, какъ м?ра в?са, но зато онъ былъ очень распространенъ въ вид? м?ры стоимости.
Это происходило потому, что въ древности монеты ц?нились по ихъ в?су, и когда совершалась купля-продажа, то, обыкновенно, условливались, сколько надо отв?сить за такую-то вещь золота, серебра или даже м?ди. Такимъ образомъ талантъ золота, т.-е. приблизительно 1? пуда золота, ц?нился при цар? Давид? въ 125 тысячъ рублей, въ перевод? на наши монеты. Талантъ серебра при немъ же обошелся бы въ 2400 руб. Аттическій талантъ серебра ц?нился почти вдвое дешевле и доходилъ лишь до 1290 р. на наши деньги. Это случилось, в?рн?е всего, потому, что съ теченіемъ времени талантъ сталъ терять свое первоначальное значеніе в?са и постепенно обращался въ монету, т.-е. съ нимъ получалось такое превращеніе: за талантъ принимался не кусокъ опред?леннаго в?са, а кусокъ съ клеймомъ «талантъ», при чемъ в?су-то въ этомъ куск? было мен?е противъ должнаго, и сл?д. монета являлась неполноц?нной.
Сл?дуетъ отм?тить еще интересное совпаденіе, которое доказываетъ, что историческія вліянія простираются гораздо глубже, ч?мъ можно бы предполагать съ перваго раза. Заключается оно въ томъ, что есть связь между монетами современныхъ намъ англичанъ и монетами древнихъ вавилонянъ. Вавилоняне чеканили изъ мины чистаго золота 60 шекелей, а за 1 шекель давали 20 драхмъ серебряныхъ монетъ. Англійскій же фунтъ стерлинговъ (золотая монета, иначе наз. соверенъ) равенъ по в?су вавилонскому шекелю и содержитъ 20 шиллинговъ (шиллингъ—серебряная монета.) Такимъ образомъ, видно полное соотв?тствіе между фунтомъ стерлинговъ и шекелемъ, а также между драхмой и шиллингомъ.