Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики-без таблиц]

М?ры стоимости. Уже ко времени Ярослава Мудраго существовала на Руси монета «гривна». Въ ней было 20 ногатъ, или 50 р?занъ. Различаются гривны кунныя, серебряныя и золотыя; изъ нихъ кунныя готовились изъ низкопробнаго серебра и стоили вчетверо дешевле настоящихъ серебряныхъ; предполагаютъ, что изъ серебряной гривны образовался вь Новгород? къ XV в?ку рубль; золотая гривна въ 12? разъ дороже серебряной и в?сила около 20 золотниковъ. Съ петровскихъ временъ стали чеканиться монеты «гривенники».
Рубль получилъ свое названіе отъ слова «рубить» и представлялъ собой отрубленный кусокъ серебра в?сомъ около полфунта. Онъ принадлежалъ, главнымъ образомъ, къ новгородскимъ монетамъ, но попадались и московсвіе рубли, которые были вдвое меныне новгородскихъ. Въ рубл? содержалось 10 гривенъ, или, в?рн?е, гривенниковъ. Гривенникъ равнялся 10-ти новгородкамъ, т.-е. новгородскимъ мелкимъ серебрянымъ (XV в.) монетамъ, или 10 копейкамъ, т.-е. московскимъ монетамъ. Происхожденіе слова «копейка» объясняется такъ. Это была небольшая серебряная монета, на которой изображался великій князь — верхомъ на кон?; въ рукахъ онъ держалъ копье, а такъ какъ монетка была невелика, то и копье было очень маленькое, и прозвали его копейкомъ, и отсюда получилось названіе самой монеты—копейка. По крайней м?р?, во временник? (л?тописи) XVІ в. прямо говорится: «оттол? прозваша деньги копейныя». Серебряныя копейки в?сили около 10 долей. При Алекс?? Михайлович? стали чеканить м?дныя копейки.
Алтынъ — татарскаго происхожденія: «алты» по-татарски значитъ шесть; алтынъ содержалъ 6 денегъ, т.-е. 6 полукопеекъ. При Петр? Великомъ чеканились серебряные алтыны.
Деньга равнялась половин? копейки. До XVI в?ка она чеканилась изъ серебра, а потомъ ее стали готовить изъ м?ди. Съ 1829 г. переименовали ее въ денежку. Ея нельзя см?шивать съ полушкой, иначе сказать, съ полуденьгой, которая равна ? копейки. Это была уже самая мелкая монета на Руси. Впрочемъ, Карамзинъ приводитъ еще другія доли: въ полушк? 2 полуполушки, въ полуполушк? 2 пирога, въ пирог? 2 полупирога, въ полпирог? 2 четверти пирога.
 
Обыкновенныя (простыя) дроби
Необходимость дробей должна чувствоваться всякимъ челов?комъ, который желаетъ хоть немного выйти за пред?лы начальныхъ вычисленій. И въ практической жизни, и при первыхъ же шагахъ науки дроби совершенно необходимы, и безъ нихъ обойтись нельзя. Поэтому и въ самыхъ древнихъ и въ самыхъ короткихъ ари?метическихъ рукописяхъ встр?чаются непрем?нно зам?тки о доляхъ.
Прежде всего наталкиваетъ на необходимость дробей д?леніе съ остаткомъ. Интересны попытки, которыя д?лались старинными авторами для того, чтобы какъ-нибудь обойтись безъ дробей и провести все д?ло легко и спокойно, т. — е въ ц?лыхъ числахъ. Такъ, въ арабской рукописи 12-го в?ка по Р. X. р?шается вопросъ «разд?лить 100 фунтовъ между 11-ю челов?ками поровну»; какъ видно, зд?сь получается остатокъ—1 фунтъ, его предлагаютъ пром?нять на яйца, которыхъ по существующимъ ц?намъ придется 91 штука; тогда на каждаго челов?ка можно дать по 8 яицъ и еще 3 яйца въ остатк?: что д?лать съ ними? ихъ авторъ рекомендуетъ отдать тому, кто д?лилъ, за его труды или же пром?нять на соль къ яйцамъ. Еще проще поступаетъ представитель римской монастырской учености IX в?ка Одо Клюнійскій. Требуется ему разд?лить 1001 фунтъ на 100. Остатокъ 1 онъ дробитъ въ унціи, драхмы и т. д. до т?хъ поръ, пока только можно дробить. И такъ какъ въ конц? концовъ еще получается маленькій остатокъ, то его Одо предлагаетъ совс?мъ бросить и не брать въ счетъ. Но при этомъ в?дь происходитъ ошибка, хотя и небольшая, и автору ничего иного не остается, какъ извинить свою ошибку несовершенствомъ всего земного и вс?хъ людскихъ д?яній и для большей уб?дительности привести даже латинскіе стихи.
Rerum vero parens qui solus cuncta tuetur
Cum sit cuncti potens, perfectus solus habetur.
Отецъ вселенной, — который все содержитъ,
Одинъ влад?етъ вс?мъ, одинъ безъ недостатковъ.
Изъ нихъ авторитетно вытекаетъ, что только небесное свободно отъ ошибокъ и обладаетъ совершенствомъ.
Понятна та осторожность и та боязнь, съ которой въ старину относились къ дробямъ. Это былъ трудн?йшій и запутанн?йшій отд?лъ ари?метики. Не даромъ и сейчасъ у н?мцевъ сохранилась поговорка «попасть въ дроби» (in die Bruche gerathen), что совершенно равносильно нашему «стать въ тупикъ», т.-е. зайти въ такой проулокъ, выходъ изъ котораго застроенъ. Трудность увеличивалась и осложнялась, главнымъ образомъ, т?мъ, что не принято было давать никакихъ объясненій, и вся старательность ученика направлялась на заучиваніе правилъ, безъ всякаго пониманія того, откуда эти правила вытекаютъ. Кстати, и самая глава о дробяхъ была мало разработана и представлялась неясной даже для составителей учебниковъ, потому что дроби то см?шивались съ именованными числами, то принималисъ состоящими изъ 2 чиселъ—числителя и знаменателя. Въ понятіяхъ о д?йствіяхъ надъ дробями была большая путаница, особенно, что касалось умноженія и д?ленія, да и сейчасъ въ наши дни этотъ туманъ не разс?ялся; напр., первые 2–3 года, пока ребенокъ учитъ ц?лыя числа, ему толкуютъ, что умножить значитъ увеличить въ н?сколько разъ, а потомъ, когда онъ переідетъ къ дробямъ, его начинаютъ уб?ждать, что умножить вовсе не значитъ увеличить. Между т?мъ, какъ легко было бы устранить все это, если бы взглянуть на д?ло попроще и согласиться, что умножить въ ц?лыхъ числахъ значитъ взять слагаемымъ н?сколько разъ, а въ дробяхъ—взять долю числа. Трудны были дроби прежде, нелегки он? и теперь, а такъ какъ изученіе ихъ очень полезно и необходимо, то преподаватели старались и въ проз?, и въ стихахъ ободрить своихъ учениковъ и цобудить ихъ пересилить трудности. Знаменитый римскій ораторъ Цицеронъ (въ 1 ст. до Р. X.) счелъ долгомъ сказать свое авторитетное слово по этому случаю: «sine fractionibus arithmetices peritus nemo esse potest»; это значитъ: «безъ знанія дробей никто не можетъ признаваться св?дущимъ въ ари?метик?». То же самое встр?чаемъ у нашего Магницкаго въ такихъ стихахъ:
Но н?сть той ари?метикъ,
Иже въ ц?лыхъ отв?тникъ,
А въ доляхъ сый ничтоже,
Отв?щати возможе.
Т?мже о ты рад?яй,
Буди въ частяхъ ум?яй.
Особенное уваженіе къ дробямъ свид?тельствуетъ авторъ одной славянской рукописи XVII в. Именно, разсуждая о тройномъ правил?, онъ говоритъ:
«Н?сть се дивно, что тройная статія въ ц?лыхъ, но есть похвально, что въ доляхъ».
Разсмотримъ теперь подробно, какъ развилось ученіе о дробяхъ у различныхъ народовъ.
Древніе египтяне задались въ этомъ отношеніи чрезвычайно оригинальной мыслью. Они пользовались только такими дробями, у которыхъ числитель непрем?нно единица; вс? остальныя дроби они считали неудобными для вычисленія и старались зам?нять ихъ этими основными дробями, т.-е. съ числителемъ, равнымъ единиц?, такъ что когда египтянину требовалось произвести какое-нибудь д?йствіе надъ дробями, то онъ сперва зам?нялъ данныя дроби основными, за-т?мъ д?лалъ вычисленіе и уже въ конц?-концовъ изъ ряда основныхъ дробей выводилъ одинъ общій отв?тъ. Вс? зам?ны, которыя требовалось при этомъ д?лать, совершались при помощи обширныхъ таблицъ, спеціально заготовленныхъ на этотъ случай. Вотъ какъ начинаются эти таблицы:
Зд?сь между долями подразум?вается, очевидно, сложеніе, такъ
Съ дробями, у которыхъ числитель больше двухъ, приходилось немало хлопотать, и составителямъ таблицъ досталось немало труда, напр., надъ разложеніемъ дроби 7/29. Ходъ вычисления такой: