Развлечения со спичками

  
V. Немного геометрии на спичках
 
Горизонтально и вертикально
Задача 32-я
 
Попросите товарища положить на стол одну спичку горизонтально. Он положит, разумеется, так:
 
 
Затем попросите его положить возле первой спички вторую спичку вертикально. Сделает он это примерно так:
 
 
Товарищ ваш и не подозревает, что вы его "поддели". Боюсь, что вы и сами этого не подозреваете. Ведь задача-то решена неверно!
 
Решение
Обе спички (рис. 45) горизонтальны! Вы удивлены?
Но подумайте: спичка, лежащая на горизонтальной поверхности стола, может ли иметь вертикальное направление? Вертикальное направление это направление сверху вниз, к земле (точнее, к центру земного шара), — а как бы вы ни положили спичку на стол, она не будет направлена к земле.
Девяносто девять человек из ста делают эту ошибку, — не исключая даже и иных математиков. Едва ли ваш товарищ будет тот сотый, который не попадет в просак.
Два четыреугольника
Задача 33-я
 
На рис. 46 изображен четыреугольник из 6 спичек, площадь которого вдвое больше площади квадрата со стороною, равною одной спичке. Так как длина спички вам известна — 5 см, то вы легко определите площадь вашего четыреугольника в сантиметрах: 5 x 10 = 50 кв. см.
 
Задача состоит в следующем: не изменяя длины обвода этого четыреугольника, изменить форму его так, чтобы площадь его уменьшилась вдвое, т.-е. равнялась 25 см.
 
Как это сделать?
 
Пусть читатель обратит внимание на то, что речь идет о составлении четыреугольной фигуры (а не непременно прямоугольной): углы новой фигуры не обязательно должны быть прямые.
 
Решение
Надо из 6-ти спичек сложить параллелограмм так, чтобы его высота равнялась одной спичке (рис. 47).
Такой параллелограмм, имеющий одинаковые основание и высоту с квадратом, должен иметь и одинаковую с ним площадь.
Что больше?
Задача 34-я
 
Ил 6-ти спичек сложены прямоугольник и равносторонний треугольник. Обводы этих фигур, конечно, одинаковы. А у какой больше площадь? (рис. 48).
 
Решение
Чтобы решить эту задачу, надо знать, как вычисляется площадь треугольника: умножают длину основания на высоту и полученное произведение делят пополам; или — что то же самое — умножают половину основания на высоту. В нашем треугольнике половина основания = одной спичке, т.-е. основанию прямоугольника. Если бы высоты этих фигур были одинаковы, то обе фигуры имели бы равные площади.
Но легко видеть, что высота треугольника меньше двух спичек, т.-е. меньше высоты прямоугольника. Значит, и площадь треугольника меньше площади прямоугольника.
Фигура с наибольшей площадью
Задача 35-я
 
Сейчас мы составили из 6-ти спичек прямоугольник и равносторонний треугольник. Но из того же числа спичек можно составить еще и другие фигуры, имеющие одинаковый обвод. Некоторые из этих фигур изображены на рис. 49.
 
Площади всех этих фигур различны. Спрашивается, у какой же из них площадь наибольшая?
 
Решение
Мы уже знаем, что площадь фиг. 1 больше площади фиг. 2. Легко сообразить, что она больше также и площади фиг. 3 (сравните их высоты!)
Остается, следовательно, сравнить по величине площади фигуры 1, 4 и 5. Мы можем рассматривать все три фигуры, как шестиугольники с равными сторонами (у фиг. 1 два угла выпрямлены). В курсах геометрии доказывается, что из всех многоугольников с одинаковым числом сторон и одинаковым обводом наибольшую площадь имеет многоугольник правильный, т.-е. такой, у которого равны не только стороны, но и углы. Этому условию удовлетворяет фигура 5; она следовательно, и имеет наибольшую площадь, какую можно ограничить шестью спичками [6].
Покажем кстати, как можно сложить из спичек правильный шестиугольник.
Для этого нужно примкнуть друг к другу 6 равносторонних треугольников, как показано на рис. 50, и затем вынуть внутренние спички.
Мост из двух спичек
Задача 36-я
 
На рис. 51 вы видите остров, окруженный каналом. Ширина канала как раз равна длине одной спички, так что перебросить мостик через канал с помощью одной спички нельзя: невозможно опереться концами о берега канала.
 
Не удастся ли вам перекинуть мост через канаву помощью двух спичек? Помните, однако, что склеивать или связывать эти две спички не полагается.
 
Решение
Решение этой задачи основано на том, что длина линии, соединяющей противоположные углы квадрата (так назыв. диагональ), меньше длины 11/2 спичек (см. рис. 52). Зная это, мы можем построить требуемый мост так, как показано на рис. 53, — т.-е. одну спичку кладем в положении 5–6, а другую в положении 7–4. Расстояние 2–7 очевидно равно расстоянию 5–7; расстояние 2 4, т.-е. диагональ квадрата меньше длины полутора спичек; а так как расстояние 2–7 равно половине спички, то пролет 7–4 короче длины спички. Отсюда и вытекает возможность сооружения нашего моста.
Задача эта может оказаться и практически полезной в том случае, когда, имея две одинаковые жерди, нужно перебросить (не связывая их между собою) мост через канаву, ширина которой как раз равна или даже чуть больше длины одной жерди.
Возможно это, впрочем, только в том месте канавы, где она поворачивает под прямым углом (рис. 54).
В витрине спичечного треста
Задача 37-я
 
В витрине магазинов спичечного треста нередко выставляются ради рекламы огромные спичечные коробки, по фасону совершенно подобные обыкновенным; а внутри коробки видны столь же чудовищные спички. Предположим, что такой коробок в 10 раз длиннее обыкновенного.
 
Спрашивается;
 
1) сколько весит одна исполинская спичка, принимая вес обыкновенной спички в 1/10 грамма?
 
2) сколько спичек обыкновенного размера мог бы вместить один коробок-великан?
 
Ответ, что спичка-великан весит (1/10) х 10, т.-е. всего один грамм, — конечно, явно несообразен: ведь это чуть не настоящее полено — правда, всего в 2 см толщины, зато в полметра длины!
 
Так же несообразно допустить, что в огромном коробке всего вдесятеро больше спичек, чем в обыкновенном, — т.-е. столько, сколько в 10 коробках.
 
Десять выложенных в ряд коробков не похожи на тот внушительный ящик, который выставлен в витрине.
 
Каковы же правильные ответы?