Онтология математического дискурса

Конечно же математическое рассуждение не ограничивается такими, завязанными на вполне определенный единичный предмет, построениями. Математический анализ постоянно имеет дело с такими предметами, которые не могут быть вполне определены с помощью конечной процедуры построения. Самый характерный пример - иррациональное число, которое определяется либо как последовательность рациональных чисел, либо как сечение на множестве рациональных чисел. В любом случае такое определение предмета предполагает предъявление какой-то бесконечной совокупности и о его существовании уже невозможно говорить в рассмотренном выше смысле. Тем более это невозможно, если речь идет о последовательностях или о бесконечных множествах вещественных чисел. Названные предметы, тем не менее, весьма активно изучаются в анализе. В математике принято два способа говорить о существовании этих неконструируемых предметов. 
Первый неконструктивный способ интерпретации существования связан с законом исключенного третьего. На нем основаны все доказательства от противного. Приведем еще один пример. Одна из центральных теорем анализа утверждает, что если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел. Доказательство этого факта часто проводят, предположив, что данная последовательность нефундаментальна (т.е. не удовлетворяет критерию Коши). Из этого предположения легко выводится, что последовательность в таком случае и не ограничена, что противоречит условиям теоремы. Далее же на основании закона исключенного третьего утверждается фундаментальность рассматриваемой последовательности, а соответственно и наличие предела. Никаких указаний на какое-либо конкретное число, могущее быть пределом последовательности, равно как и на способ его вычисления, нет ни в формулировке, ни в доказательстве теоремы. Мы, конечно, можем усмотреть здесь какую-то схему, которая может быть применена к заданной последовательности, т.е. к определенному единичному предмету. Но к построению другого единичного предмета (в существовании которого и требуется удостовериться) предложенная схема не приведет. Это предмет останется предметом гипотетическим. Нет никаких реальных критериев для того, чтобы отличить его от какого-либо другого. Брауэр, о взглядах которого на проблему существования мы будем более подробно говорить в дальнейшем, считал, что философским основанием для такого типа рассуждений является реализм (или "платонизм"), неправомерно перенесенный на математические объекты [65]. Утверждая, что бесконечная последовательность (которую мы не построили и не можем построить) должна быть либо фундаментальной, либо нефундаментальной, мы верим в некоторое действительное положение дел, существующее независимо от нас в каком-то идеальном мире. Наше суждение об этом положении дел может быть истинным или ложным, сама же реальность, никак не связана с нашими собственными действиями. Брауэр считал неправомерным использование закона исключенного третьего потому, что по его убеждению математические объекты и их отношения не есть независимая от субъекта реальность, о которой можно лишь истинно или ложно судить, а есть продукт собственной деятельности субъекта. Можно не принимать такую точку зрения, но трудно, по-видимому, отрицать, что онтологический статус предмета, определенный подобным образом, остается довольно сомнительным. Мы начинаем оперировать с предметом, присутствие которого непосредственно не удостоверено. Можно сказать, что такой предмет не существует в подлинном смысле, а как будто существует. Не имея возможности предъявить его в нашем рассуждении, мы рассуждаем так, как если бы он существовал (как если бы был построен). Установив существование с помощью закона исключенного третьего, часто имитируют непосредственное указание на этот предмет, вводя для него имя, участвующее далее во всех рассуждениях. Другой способ понимания существования в отношении предметов математики также связан скорее с предположением о существовании (по крайней мере, если сопоставлять его с конструктивным предъявлением индивида). Введение целых классов предметов осуществляется с помощью мыслительного хода, подобного тому, который был предпринят при введении отрицательных чисел для учета расходов и долгов в разных финансовых операциях или введении иррациональных (а затем и комплексных) чисел при решении алгебраических уравнений. Всякий раз в рассуждение вводится некий квази-объект, который не указывается конструктивно. Про него лишь говорится, что он может участвовать в различных манипуляциях с числами наравне с числами "настоящими" (например, рациональными). Для него придумывается специальный значок, который подставляется в формулы. Причем результатом применения к нему этих формул оказывается вполне определенное, вычисляемое число. Сам же этот квази-объект по существу оказывается отождествлен с тем значком, который подставляется вместо него в формулу. 
Что же позволяет считать такие квази-объекты существующими. Здесь оказывается уместна та интерпретация существования, на которой настаивал Пуанкаре: критерием существования является свобода от противоречия. Все те формулы, в которые подставляются введенные для таких предметов значки, не должны противоречить друг другу. Более ясным этот критерий становится при обращении к аксиоматическому построению математики. Паункаре писал: "Если мы ... имеем систему постулатов, и если мы можем доказать, что эти постулаты не заключают в себе противоречия, то мы вправе рассматривать их как определения одного из тех понятий, которые фигурируют в этой системе предложений" ([48] с.373). Еще яснее такая интерпретация становится видимо, если прибегнуть к более поздней терминологии. Предмет существует, если он оказывается термом в непротиворечивой теории. Такой подход к проблеме существования сразу же ставит проблему непротиворечивости. Мы обсудим это подробнее, когда будем разбирать взгляды Гильберта. 
Нашей ближайшей задачей будет углубление названных здесь интерпретаций существования. Каждая из них имеет достаточно солидную философско-математическую базу. Построение такой базы требует выявления ряда предпосылок, неявно присутствующих в любом математическом дискурсе. Сознательное прописывание такого рода предпосылок (т.е. работа, которую можно назвать уже чисто философской) не раз предпринималось ведущими математиками. К анализу взглядов некоторых из них мы сейчас обратимся. 
  2 Концепция существования у Кантора 
В работах Георга Кантора есть ряд пассажей, в которых он довольно точно объясняет, что следует считать существующим в математике. Обратим внимание, прежде всего, на следующее высказывание. 
"Во-первых, мы можем считать целые числа действительными (здесь, очевидно, имеется в виду "действительно существующими" - Г.Г.) постольку, поскольку они занимают на основе определений вполне определенное место в нашем рассудке, вполне ясно отличаются от всех остальных составных частей нашего мышления, находятся к ним в определенных отношениях и, таким образом, определенным образом видоизменяют субстанцию нашего духа." Такого рода реальность Кантор называет "интрасубъективной" или "имманентной", которую он отличает от реальности "транссубъективной" или "транзиентной". Последняя приписывается числам "постольку, поскольку их приходится рассматривать как выражения или отображения процессов во внешнем мире, противостоящем интеллекту". Внешний мир, что немаловажно, включает как "телесную", так и "духовную природу". "Для меня - пишет далее Кантор - не подлежит никакому сомнению, что оба эти вида реальности всегда совпадают в том смысле, что какое-нибудь понятие, принимаемое за существующее в первом отношении, обладает в известных, даже бесконечно многих отношениях транзиентной реальностью." ([31], c.79) 
Итак "транзиентная реальность", будучи трансцендентным интеллекту внешним миром, все же совершенно адекватно представлена определенными понятиями. Эта определенность и должна служить своего рода критерием существования. Поскольку основные усилия Кантора направлены на обоснование реальности объектов создаваемой им теории бесконечных множеств, то речь должна идти главным образом об определенности этих множеств и их элементов. Если нам удастся установить их ясную "отличимость от всех остальных составных частей нашего мышления", то мы можем быть уверены, что они совершенно адекватно представляют предметы внешнего мира (причем, скорее "духовной" нежели "телесной" природы - поскольку речь идет о бесконечных множествах). Поэтому математика "при развитии своих идей должна считаться единственно лишь с имманентной реальностью своих понятий и не обязана вовсе проверять также их транзиентную реальность" (с. 79-80; курсив Кантора). Здесь уместно следующее рассуждение, проводимое Кантором несколько ранее. "Многообразие (совокупность, множество) элементов,принадлежащих любой сфере понятий, я называю вполне определенным, если на основе его определения и вследствие логического принципа исключенного третьего становится возможным рассматривать внутренне определенным как то, является или не является его элементом любой объект из этой сферы понятий, так и то, равны или нет друг другу два принадлежащих множеству объекта, несмотря на формальные различия в способах их задания." ([31], c. 50-51; Курсив Кантора).