Онтология математического дискурса

Похожее рассмотрение можно провести и относительно математического рассуждения (вывода, доказательства), поскольку оно является объектом метаматематики. Рассуждение, будучи конструкцией, появляющейся в результате комбинирования знаков, представляет собой чувственно воспринимаемый объект. Он предстает в виде определенной пространственной конфигурации, определяемой как способом сочетания составляющих его знаков, так и способом начертания самих этих знаков. Как чувственно воспринимаемый объект рассуждение выступает в качестве субъекта метаматематического суждения. Задачей метаматематики оказывается установление ряда предикатов (например, предиката непротиворечивости) для названного субъекта. Но такого рода предицирование есть не что иное как выражение определенных пространственных свойств созерцаемого (точнее создаваемого на бумаге или на доске) объекта. (См. примечание 5) Рассуждение или система аксиом обнаруживает себя как непротиворечивое (обладающее предикатом непротиворечивости) в ходе его пространственного (строго говоря, пространственно-временного) конструирования. Суждение о непротиворечивости оказывается таким образом априорным и синтетическим, в самом строгом кантовском смысле. Гильбертовская метаматематика содержит в себе все установленные Кантом элементы знания: данный в созерцании объект, являющийся в пространстве и времени, синтетическое суждение об этом объекте и, наконец, синтез продуктивной способности воображения, в результате которого этот объект конструируется. 
Таким образом две соперничающие математические школы имеют один и тот же философский корень. Можно сказать, что каждая из них сделала больший акцент на одной из двух выделенных Кантом интуиций. Если Брауэр, как мы видели, считал исходной интуицию времени, явно утверждая вторичность и производность пространства, то Гильберт, вообще ничего не говоря о времени, явно рассматривал пространство и пространственное конструирование как основу математики. Очевидная кантианская родословная двух влиятельных математических традиций несомненно требует более внимательного анализа кантовского текста. Именно к рассмотрению проблемы существования в математики с позиций философии Канта мы перейдем в следующей главе. 
Примечания к Главе 2 
1. Хотя Кантор и пытается выстроить иерархию математических понятий, подобную родо-видовой иерархии, и рассмотреть все построенные так объекты как некие субстантивированные универсалии, предлагаемая им процедура выделения общих свойств имеет мало общего с тем абстрагированием, которое описывает, например, Боэций (см. Введение). Как мощность, так и порядковый тип бесконечного множества невозможно определить как его собственное свойство. Оно не обладает этим свойством как субстанция своим атрибутом. Мощность бесконечного множества определяется как свойство отношения множеств. Сущности можно приписывать признак, рассматривая ее саму по себе, независимо от других сущностей. Мощность множества (равно как его порядковый тип) устанавливается только для класса множеств. Поэтому подвести канторовское представление о существовании под аристотелевское учение о сущности невозможно без серьезных натяжек, хотя сам Кантор, по-видимому, хотел именно этого. вернуться в текст 
2. Цитата приводится по книге [55], с. 245. вернуться в текст 
3. В разных местах Брауэр говорит о качественно различимых частях или различимых вещах. В любом случае речь идет о дискретной последовательности событий, характеризующих когнитивную деятельность. Ряд лежащих на прямой (последовательно, друг за другом) отрезков является естественной математической моделью такой деятельности. вернуться в текст 
4. Математическое развитие этих идей содержится в брауэровской теории континуума как среды становления для свободно становящихся последовательностей. Дискретные последовательности точек, выбираемых из среды сообразно некоторому закону или согласно свободному выбору, разбивают континуум на все более мелкие части, устанавливая определенную структуру отношений между этими частями. Подробно об этом см. в [34]. вернуться в текст 
5. Близкий подход к математике разрабатывается в [60] под названием "пангеометризм". вернуться в текст 
ГЛАВА 3 Существование в геометрии. Анализ категорий модальности 
Мы видели, что две влиятельные математические школы XX века, которые справедливо рассматриваются как соперничающие между собой, исходят, в конечном счете, из общего философского основания. Этим основанием явилась для них философия Канта. Поэтому мы имеем право говорить о кантианской (или, возможно, трансценденталистской) традиции в основаниях математики. Обсуждая проблему существования и математической онтологии, мы будем иметь в виду именно эту традицию. Совершенно очевидно, что она не является единственно возможной. Ей явно противостоит иная традиция, связанная с именами Фреге и Рассела и обосновывающая математическое рассуждения средствами логического позитивизма (или аналитической философии). Мы не будем касаться этой традиции в рамках настоящей работы. Наиболее естественным для нас сейчас будет подробное рассмотрение той интерпретации существования математических объектов, которая предлагается самим Кантом. 
  1 Возможное и действительное в математике 
Обсуждать проблему существования, оставаясь в рамках "Критики чистого разума", довольно удобно, поскольку определение существования дано в этой книге явно. "Существование" - одна из трех категорий модальности и Кант весьма подробно описывает каким способом рассудок определяет предмет как существующий. С другой стороны, однако, определение существования (действительности) дается здесь в совокупности с определением двух других категорий модальности и может быть правильно понято лишь при сопоставлении с ними. Обратимся к непосредственному описанию обсуждаемых категорий: возможности, действительности и необходимости. Такое описание приведено в главе "Система всех основоположений чистого рассудка" и названо "Постулаты эмпирического мышления вообще". 
"1. Что согласно с формальными условиями опыта (что касается наглядных представлений и понятий), то возможно. 
2. Что связано с материальными условиями опыта (ощущения), то действительно. 
3. То, связь чего с действительностью определяется согласно общим условиям опыта, существует необходимо." (B266, курсив Канта). 
В какой мере категория действительности (т.е. существования в собственном смысле этого слова) (См. примечание 1) может быть условием знания о предметах математики? Чтобы установить это, обратимся к краткому разъяснению Канта по поводу соответствующего постулата. 
"Постулат действительности вещей требует восприятия, т.е. ощущения и сознания, если не непосредственно самого предмета, существование которого должно быть познано, то, по крайней мере связи его с каким-либо действительным восприятием согласно аналогиям опыта.." (B272 - курсив Канта). 
Едва ли рассуждение о математическом предмете может основываться на аналогиях опыта, призванных установить "реальные связи" (т.е. связь согласно законам причинности и взаимодействия). Следовательно постулат действительности требует непосредственного восприятия предмета для познания его существования. Поэтому как о действительном можно говорить, прежде всего, только о единичном предмете, представленном благодаря ощущению. Есть ли вообще в математике такие предметы? Несомненно есть, поскольку всякое математическое рассуждение так или иначе оставляет след на бумаге или на доске. Действительным является изображенный и непосредственно воспринимаемый математический символ, выписанная формула (конечная последовательность символов), начерченная геометрическая фигура. Но эти ли предметы представляют для математики основной интерес? Разве, например, в теореме о сумме внутренних углов треугольника говорится о неровном карандашном следе, о трех попарно пересекающихся на листе бумаги отнюдь не прямых линиях, которые непосредственно воспринимаются нами? Конечно же нет. Речь идет о треугольнике "вообще", который нигде и никак не нарисован. Но в таком случае он и не действителен.