Криптономикон
– Ладно, давайте снова к «ОМ», – сказал Лоуренс.
– Да! Рассел и Уайтхед. Итак, когда математики начали играть со всякими корнями из минус единицы и кватернионами, это было уже не то, что можно перевести в палки и пробки. И все же они по-прежнему получали верные результаты.
– По крайней мере внутренне непротиворечивые, – уточнил Руди.
– О’кей. Значит, математика – больше, чем физика пробок.
– Так нам представляется, Лоуренс, но возникает вопрос: математика по правде или это только игра в символы? Другими словами: мы открываем Истину или просто балуемся?
– Она должна быть по правде, потому что, когда прикладываешь ее к физике, она работает! Я слышал про общую теорию относительности и знаю, что она подтверждена экспериментами.
– Большая часть математики не поддается экспериментальной проверке, – сказал Руди.
– Вся идея в том, чтобы укрепить связь с физикой, – произнес Алан.
– И при этом не баловаться.
– И для этого написаны «ОМ»?
– Рассел и Уайтхед свели все математические понятия к таким жутко простым вещам, как множества. Отсюда они перешли к целым числам и так далее.
– Но как можно свести к множествам, например, число «p»?
– Нельзя, – сказал Алан, – зато его можно выразить цепочкой цифр: три запятая один четыре один пять девять и так далее.
– То есть через целые числа, – сказал Руди.
– Нечестно! Само «p» – не целое!
– Но можно вычислить цифры «p», одну за другой, по некой формуле. И можно написать формулу вроде такой!
Алан нацарапал на земле:
– Я использовал ряд Лейбница, чтобы утешить нашего друга. Видишь, Лоуренс? Это цепочка символов.
– Цепочку символов вижу, – нехотя согласился Лоуренс.
– Можно идти дальше? Гёдель, всего несколько лет назад, сказал: «Послушайте! Вы согласны, что все в математике просто цепочка символов? Тогда вот!» И показал, что любую цепочку символов – вроде этой – можно превратить в целые числа.
– Как?
– Ничего сложного, Лоуренс, простой шифр. Произвольный. Вместо уродливой сигмы напиши число 538 и так далее.
– Очень близко к баловству.
– Нет, нет! Потому что Гёдель расставил ловушку. В формулу можно подставлять числа, да?
– Конечно. Как 2x.
– Да. Можно подставить на место х любое число, и формула его удвоит. Но если математическую формулу вроде этой для вычисления числа «p» можно закодировать числом, то ее можно подставить в другую формулу. Формулу в формулу!
– И это все?
– Нет. Потом он доказал, очень простым способом, что если формулы можно применить к формулам, то мы вправе сказать: «данное утверждение недоказуемо». Что страшно удивило Гильберта и других, ожидавших противоположного результата.
– Этого твоего Гильберта ты уже упоминал?
– Нет, Лоуренс, он появился в нашем разговоре только сейчас.
– Кто он?
– Человек, который задает трудные вопросы. У него их целый список. Гёдель ответил на один.
– А фон Тьюринг – на другой, – добавил Руди.
– Это еще кто?
– Это я, – сказал Алан. – Только Руди шутит. В Тьюринге вообще-то нет приставки «фон».
– Сегодня ночью будет. – Руди как-то странно взглянул на Алана. Будь Лоуренс повзрослее, он бы определил этот взгляд как «страстный».
– Ладно, не томи. На какой вопрос Гильберта ты ответил?
– Entscheidungsproblem [5], – сказал Руди.
– То есть?
Алан объяснил:
– Гильберт хотел знать, можно ли в принципе доказать истинность или ложность любого высказывания.
– Но Гёдель все изменил, – произнес Руди.
– Верно. После Гёделя вопрос стал звучать так: «Можно ли определить, доказуемо или нет некое – любое – конкретное высказывание?» Другими словами, есть ли механический процесс, посредством которого мы в состоянии отсеять доказуемые утверждения от недоказуемых?
– «Механический процесс», Алан, это вообще-то метафора…
– Ладно тебе, Руди. Мы с Лоуренсом не боимся механики.
– Усек, – сказал Лоуренс.
– Что значит «усек»? – спросил Алан.
– Твоя машина – не для дзета-функций, а другая, о которой мы говорили…
– Она называется Универсальная Машина Тьюринга, – сказал Руди.
– Вся эта хреновина нужна, чтобы отделять недоказуемые утверждения от доказуемых, верно?
– Вот для чего я придумал ее основную идею, – сказал Алан. – Так что на вопрос Гильберта ответ уже есть. Теперь я хочу на самом деле ее построить, чтобы обыграть Руди в шахматы.
– Ты еще не сообщил бедному Лоуренсу ответ, – напомнил Руди.
– Лоуренс сообразит, – сказал Алан. – Ему будет чем себя развлечь.
Скоро стало ясно, что Алан на самом деле хотел сказать: «Будет чем себя развлечь, пока мы займемся друг другом». Лоуренс засунул блокнот под брючный ремень, взял велосипед, отъехал ярдов на двести к сторожевой башне, поднялся по лестнице на платформу и сел спиной к заходящему солнцу, примостив на коленях блокнот, чтобы свет падал на страницу.
Сперва он не мог собраться с мыслями, потом его отвлекли сполохи на северо-востоке. Он подумал было, что это отблески заката на облаках, но свет шел явно из одного места и к тому же мерцал. Тогда Лоуренс предположил, что это молния, однако свет был недостаточно голубой и резко менялся под воздействием (надо полагать) каких-то могучих событий за горизонтом. Когда солнце скрылось за противоположным краем мира, свет на горизонте Нью-Джерси превратился в ровное сияние, того же цвета, что от фонарика, когда под одеялом смотришь на него через пальцы.
Лоуренс спустился с башни, сел на велосипед и покатил через Сосновую пустошь. Вскоре он выехал на дорогу, которая шла примерно в нужную сторону. Большую часть времени молодой человек вообще ничего не видел, даже дорогу, но часа через два отблески света легли на щебенку под колесами, и ручейки между сосен превратились в горящие трещины.
Дорога свернула не в ту сторону, и Лоуренс поехал напрямик через лес. Теперь было совсем близко, и он различал свет за редким сосняком – черные тощие стволы казались обгорелыми палками. Начался песок, сырой и плотный, а у велосипеда были толстые шины. Один раз пришлось остановиться и перебросить велосипед через колючую проволоку. За сосняком пошел совершенно ровный белый песок с кустиками аммофилы, и тут же путника ослепила низкая ровная стена огня на горизонте размером примерно с полную луну, когда та садится в море. Огонь был такой яркий, что ничего другого Лоуренс уже не видел и несколько раз въезжал в промоины. После этого он старался не смотреть прямо на огонь, тем более что глядеть по сторонам тоже было интересно. На плоской песчаной равнине высились циклопические постройки, грубые творения фараонов, а на обширных пространствах между ними – далеко разнесенные исполинские гномоны триангулированной стали, внутренние скелеты пирамид. Циферблат самых высоких солнечных часов очерчивали круговые рельсы диаметром несколько сот футов: две серебряные дуги бежали по блеклой земле, разрываясь там, где указывала время черная тень башни. Лоуренс проезжал здания поменьше; рядом с ними стояли овальные цистерны. Из клапанов наверху цистерн с шипением выходил пар, но не поднимался вверх, а стекал по стенкам и расползался по земле, кутая солончаковую траву в серебряные бушлаты. Тысяча матросов в белом стояли оцеплением вокруг длинного пламени. Один из них поднял руку и помахал Лоуренсу – остановись, мол. Лоуренс притормозил и уперся ногой в песок. Они с матросом некоторое время друг друга разглядывали, потом Лоуренс, не придумав ничего лучшего, сказал: «Я тоже из ВМФ». Матрос, видимо, принял какое-то решение. Он отсалютовал Лоуренсу и указал на маленькое строение сбоку от пламени.
На фоне зарева строение казалось глухой стеной, однако порой голубая вспышка магнезии выхватывала из темноты его окна, прямоугольные молнии, многократно отраженные в ночи. Лоуренс снова принялся крутить педали и поехал мимо строения, огибая толпу фетровых шляп, тычущих в блокноты солидными авторучками, фотографов с их огромными хромированными красавцами, ряды спящих, укрытых с головой простынями, потного человека с набриолиненными волосами, который мелом писал на черной доске немецкие фамилии. Наконец он объехал здание и почуял горячий запах масла, почувствовал жар на лице и увидел иссушенную, скорченную траву.