По следам бесконечности

Кроме того, революция в физике продемонстрировала относительность наших знаний, не оставив сомнений в том, что любые естественнонаучные теории всегда обладают определенными границами применимости.
Что принесет с собой разрешение третьего великого кризиса в математике?
«Возможно, — говорит академик Наан, — мы стоим на пороге наиболее грандиозной революции в точных науках, в сравнении с которой даже коперниковская или канторовская революция или революции, связанные с открытием неэвклидовых геометрий, построением квантовой теории или теории относительности будут казаться не столь уж радикальными».
  
Проблема континуума
 
Одним из важнейших постулатов, на который опирались все существовавшие до сих пор физические картины мира, а вместе с ними и наше мировоззрение, является постулат о непрерывности пространства и времени, то есть об их неограниченной бесконечной делимости.
Вопрос стоит так: если имеются две сколь угодно близкие точки, можно ли поместить между ними еще одну? И то же самое для моментов времени.
— Мы даже не можем по-настоящему представить себе, каков был бы мир, например, со «щелями» во времени! — говорит академик Наан. — И все-таки подобную возможность нельзя считать заранее исключенной.
Одним словом, непрерывность — одно из тех математических понятий, которые играют важнейшую роль в построении современной физической картины мира.
Даже частичный отказ от постулата непрерывности повел бы не только к принципиальным изменениям наших физических представлений о Вселенной, но и к весьма существенным последствиям философского характера. Ведь с этим постулатом самым тесным образом связаны такие фундаментальные понятия, как причинность, познаваемость всех частей мира и многие другие.
Если пространство и время дискретны, то есть состоят из отдельных обособленных точек или моментов, разделенных непроходимыми щелями, то их общее число во Вселенной хотя и может быть бесконечным, но эта бесконечность не более чем счетная. Эти точки или моменты можно, в принципе, перенумеровать с помощью чисел натурального ряда.
Если же пространство и время непрерывны, то уже на любом отрезке длины или интервале времени мы встретимся с множеством более высокой мощности, чем счетная, — множеством мощности континуума.
Еще Георг Кантор сформулировал проблему, которая представляет не только чисто математический, но и глубокий физический интерес: насколько велика пропасть, разделяющая эти две бесконечности — счетную и континуальную?
Эта проблема возникает совершенно естественным образом. В самом деле, ведь между двумя любыми соседними числами натурального ряда, скажем, между единицей и двойкой располагается бесконечное множество точек числовой прямой — действительных чисел. Таким образом, континуальная бесконечность бесконечно богаче счетной или, иначе говоря, бесконечен скачок от счетного множества к континууму. Поэтому вполне логично задаться вопросом о существовании промежуточных бесконечностей.
Сам Кантор считал, что бесконечных множеств с промежуточной мощностью не существует. Это утверждение, получившее название проблемы континуума, он пытался доказать на протяжении многих лет, исходя из основных положений теории множеств, но безуспешно.
Проблема континуума — одна из тех знаменитых математических задач, которые, однажды возникнув, на протяжении многих десятилетий оставались неразрешенными, волнуя умы множества ученых.
На рубеже XIX и XX столетий Давид Гильберт, перечисляя важнейшие с его точки зрения задачи математики будущего, поставил проблему континуума на первое место.
Однако все колоссальные усилия математиков, направленные на ее решение, не принесли ничего реального вплоть до 1940 года, когда выяснилось, что проблема континуума теснейшим образом связана с другим важнейшим положением теории множеств, так называемой аксиомой выбора.
Как и в основе многих других математических теорий, в фундаменте теории множеств лежит система аксиом, исходных положений, из которых путем логических заключений выводятся все остальные положения.
Система аксиом должна быть непротиворечивой — логические выводы, полученные на ее основе, не должны вступать в противоречия друг с другом. Это одно из фундаментальных требований к исходным положениям любой научной теории, так как из противоречивых утверждений можно вывести все что угодно.
Ведь если два утверждения противоречат друг другу — одно из них неизбежно является ложным. Показательна в этом смысле своеобразная теорема, которую приводит математик Хаусдорф в качестве подстрочного примечания в своей знаменитой книге «Теория множеств»:
«Если дважды два равно пяти — то существуют ведьмы…»
Итак — непротиворечивость. Но, как уже было сказано, система исходных положений канторовской теории множеств этому требованию, к сожалению, не удовлетворяет — их логическое развитие приводит к неустранимым парадоксам.
И многие математики как раз и видят выход из третьего великого кризиса в том, чтобы построить такую аксиоматику теории множеств, которая «давала бы все, что нужно, и ничего лишнего», то есть не приводила бы к парадоксам.
Попыток предпринималось немало. В настоящее время наибольшим признанием пользуется система аксиом Цермелло — Френкеля.
С парадоксами она пытается расправиться путем введения специальных «ограничительных» аксиом, попросту запрещающих существование таких множеств, которые приводят к неразрешимым противоречиям.
Удастся ли таким путем до конца преодолеть все трудности, покажет будущее. Сейчас нас интересует другое. В системе аксиом Цермелло — Френкеля есть несколько аксиом, непосредственно связанных с бесконечностью. Одна из них, например, постулирует ее существование. Другая — «аксиома выбора», аксиома, которая подобно вопросу о непрерывности имеет самое непосредственное отношение к нашим представлениям о физике Вселенной.
Как известно, обычные натуральные числа характеризуют не только количество, но и порядок. Пятый значит пятый по счету, то есть следующий за четвертым и предшествующий шестому.
Трансфинитные числа, введенные Кантором, устанавливают аналогичный порядок в мире бесконечностей. Кантор предполагал, что с помощью трансфинитных чисел можно перенумеровать любое бесконечное множество и тем самым упорядочить его подобно множеству натуральных чисел.
В том и заключается главный смысл теории множеств, что она превратила математическую бесконечность из чего-то неясного и расплывчатого, находящегося «по ту сторону» от обычных объектов, с которыми мы можем оперировать, в нечто доступное измерению и численному выражению, построила аппарат для исчисления бесконечностей. В дальнейшем предположение Кантора о возможности упорядочения любого множества было строго доказано исходя из аксиомы, предложенной Цермелло и получившей впоследствии название аксиомы выбора.
Для человека, мало знакомого с математикой, эта аксиома прозвучит, должно быть, несколько странно.
Предположим, что у нас имеется бесконечное множество непересекающихся, то есть не имеющих общих элементов бесконечных множеств. Тогда, утверждает аксиома выбора, можно построить по меньшей мере одно множество, которое содержит по одному и только одному элементу из каждого нашего множества.
На первый взгляд, такое утверждение представляется довольно тривиальным. В самом деле, если в школе есть, скажем, десять шестых классов и в каждом из них по 30–40 человек, то нет абсолютно ничего сложного в том, чтобы составить множество, и далеко не единственное, в которое войдет по одному представителю из каждого класса.
Да, действительно, для конечных множеств все получается очень просто. В сущности, в этом случае аксиома выбора — уже не аксиома, ее можно совершенно строго доказать.
Но вот, можно ли ее автоматически обобщить на случай бесконечных множеств, далеко не очевидно. Этот вопрос не мог не волновать математиков, хотя бы уже потому, что из аксиомы выбора непосредственно следует справедливость предположения Кантора об отсутствии промежуточных мощностей между счетным множеством и континуумом.