Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики-без таблиц]

Подобную систему, позволяющую выражать громадныя количества, встр?чаемъ мы въ старинныхъ рукописныхъ славянскихъ ари?метикахъ (XVI—ХVІІ в. по Р. X.). Она носитъ названіе «числа великаго словенскаго» и представляетъ изъ себя нумерацію, развитую подробно, остроумно и своеобразно. Не безъ вліянія на эту нумерацію осталась польская ученость, которая во времена, предшествовавшія Петру Великому, питала и растила зачатки русской образованности, въ особенности же въ св?тской ея части; польская наука заимствовала, въ свою очередь, все содержаніе и силу изъ Западной Европы, Европа у арабовъ, арабы многому научились у индусовъ. Вотъ какая длинная ц?пь переходовъ и ступеней нужна была для того, чтобы ари?метическія знанія индусовъ сд?лались собственностью русскихъ. И времени для этого потребовалось не мало, — ц?лыя стол?тія: что въ Индіи изв?стно было вскор? по Р. X., то къ намъ въ Россію прибыло едва въ 17 стол?тіи. Вотъ таблица «числа великаго словенскаго», употреблявшаяся въ томъ случа?, «коли прилучался великій счетъ и перечень», и содержавшая въ себ? 50 счетныхъ единицъ: 1) единъ, 2) десять, 3) сто, 4) едина тысяча, 5) десять тысячъ, 6) сто тысячъ, 7) едина тьма, 8) десять темъ, 9) сто темъ, 10) тысяча темъ, 11) десять тысячъ темъ, 12) сто тысячъ темъ, 13) единъ легіонъ, 14) десять легіоновъ, 15) сто легіоновъ, 16) тысяча легiоновъ, 17) десять тысячъ легіоновъ, 18) сто тысячъ легіоновъ, 19) тьма легіоновъ, 20) десять темъ легіоновъ, 21) сто темъ легіоновъ, 22) тысяча темъ легіоновъ, 23) десять тысячъ темъ легіоновъ, 24) сто тысячъ темъ легіоновъ, 25) единъ леодръ, 26) десять леодровъ, 27) сто леодровъ, 28) тысяча леодровъ, 29) десять тысячъ леодровъ, 30) сто тысячъ леодровъ, 31) тьма леодровъ, 32) десять темъ леодровъ, 33) сто темъ леодровъ, 34) тысяча темъ леодровъ, 35) десять тысячъ темъ леодровъ, 36) сто тысячъ темъ леодровъ, 37) единъ легіонъ леодровъ, 38) десять легіоновъ леодровъ, 39) сто легіоновъ леодровъ, 40) тысяча легіоновъ леодровъ, 41) десять тысячъ легіоновъ леодровъ, 42) сто тысячъ легіоновъ леодровъ, 43) тьма легіоновъ леодровъ, 44) десять темъ легіоновъ леодровъ, 45) сто темъ легіоновъ леодровъ, 46) тысяча темъ легіоновъ леодровъ, 47) десять тысячъ темъ легіоновъ леодровъ, 48) сто тысячъ темъ легіоновъ леодровъ. 49) вранъ, 50) колода. «Сего числа н?сть больши», прибавляютъ рукописи въ заключеніе.
Кром? того, у русскихъ ХVІ—ХVІІ в?ка по Р. X. была еще другая система счета, такъ сказать, обиходная, будничиая. Это — «малое число». По этой систем? единицами счета являются: единица простая, десятокъ, сотня, тысяча, тьма=10 000, легіонъ=100 000 и леодръ =100 000. [2]
Зам?чательно, что и среднев?ковые китайскіе ученые доводятъ нумерацію до 53-го разряда. И совпаденіе пред?ла, и н?которые другіе историческіе факты приводятъ къ в?роятному предположенію, что не всегда Китай былъ такь уединенно замкнутъ, какъ въ наши времена, и что индусская ученость, въ пору расцв?та своей силы, т.-е. л?тъ тысячу тому назадъ, проникла и къ китайцамъ и проявила свое д?йствіе тамъ.
Чтобы закончить выясненіе пред?ла чиселъ, мы остановимся еще немного на преданіи о той наград?, которую изобр?татель шахматной игры пожелалъ получить отъ шаха Шерама. Это преданіе свид?тельствуетъ опять таки о склонности индусовъ къ громаднымъ вычисленіямъ. Гласитъ оно сл?дующее. Шахъ Шерамъ такъ былъ восхищенъ только что изобр?тенной шахматной игрой, что предложилъ изобр?тателю назначить самому себ? награду. Тотъ и назначилъ:
«положи», говоритъ, «шахъ, мн? на первую кл?тку доски 1 пшеничное зернышко, на 2-ю два, на 3-ю 4, на 4-ю 8 и т. д., на каждую посл?дующую вдвое больше, ч?мъ на предыдущую».
Кл?токъ въ доск? 64. Шахъ посп?шилъ согласиться, но когда стали высчитывать количество зеренъ, то оказалось, что получается н?что необъятное, и что столько зеренъ нечего и думать набрать, хотя бы начать собирать ихъ со всей земли. Отв?тъ такой: 18 446 744 073 709 551 615.
 
Счетные приборы
Всякій отд?льный челов?къ и всякій отд?льный народъ на первыхъ ступеняхъ своего развитія бываетъ склоненъ къ предметному счету. Какъ д?тямъ, такъ и дикарямъ свойственно начинать счетъ съ пальцевъ. Отъ пальцевъ они переходятъ робкими попытками и съ большой нер?шительностью къ счету на другихъ предметахъ, обыкновенно на близкихъ имъ и обиходиыхъ, напр., на черточкахъ, зарубкахъ, крестикахъ, костяшкахъ в т. п. Они еще очень далеки въ этомъ случа? отъ устнаго счета и отъ письменныхъ вычисленій. Продолжая развивать свою привычку къ наглядному счету, челов?къ доходитъ до сложныхъ системъ, которыя онъ проявляетъ въ особенныхъ счетныхъ приборахъ и аппаратахъ. Одни только индусы, у которыхъ наука восходитъ къ такой же с?дой древности и къ такимъ же необъятнымъ глубинамъ прошедшихъ в?ковъ, какъ у египтянъ и китайцевъ, и у которыхъ образованіе начало развиваться за тысячи л?тъ до Р. X., — одни они усп?ли освободиться отъ помощи предметовъ во время счета и занялись чисто умственнымъ, преимущественно устнымъ, счетомъ. У остальныхъ же народовъ, какъ образованныхъ, такъ и мало развитыхъ, мы встр?чаемъ множество наглядныхъ пособій.
Укажемъ прежде всего на счетъ по пальцамъ и притомъ не на простой способъ постепеннаго загибанія пальцевъ, а на оригинальные пріемы, изобр?тенные по большей части римлянами.
Римляне были большіе любители всевозможныхъ вычисленій на пальцахъ. Между прочимъ, путемъ разгибанія и загибанія пальцевъ, а также путемъ вытягиванія и складыванія рукъ, они ум?ли выражать числа отъ 1 до милліона. При этомъ 3 пальца л?вой руки, начиная съ мизинца, служили у нихъ въ различныхъ комбинаціяхъ для простыхъ единицъ, остальные пальцы л?вой руки—для десятковъ, большой и указательный пальцы правой руки для сотенъ, а остальные для тысячъ. Чтобы выразить, напр., простую единицу, они загибали мизинецъ, чтобы выразить 2, пригибали 4-й и 5-й палецъ къ ладони, для 3-хъ—3-й палецъ: число 90, напр., обозначалось указательнымъ пальцемъ, пригнутымъ къ ладони; для обозначенія десятковъ тысячъ они клали л?вую руку на грудь, бедро, для сотенъ тысячъ пользовались такимъ же образомъ правой рукой; складываніеі рукъ крестъ-накрестъ соотв?тствовало милліону.
Римляне не только могли зам?чать на пальцахъ большія числа, но они ум?ли производить при помощи пальцевъ н?которыя д?йствія. И сейчасъ еще потомки римлянъ, румыны и южные французы, въ состояніи быстро и искусно прод?лывать на пальцахъ таблицу умноженія.
Положимъ, дано умножить 6 на 8; тогда протягиваемъ на одной рук? 1 палецъ, т. е. ровно столько, насколько первый множитель больше пяти, а на второй рук? протягиваемъ 3 пальца, потому что, согласно такому же разсчету, 8 больше 5-ти на три; количество протянутыхъ пальцевъ складываемъ, и это будетъ число десятковъ—4; количества же пригнутыхъ пальцевъ перемножаемъ: 4?2=8, тогда получимъ единицы произведенія, 4 дес.+8=48.
Еще прим?ръ: 8X9; такъ какъ 8 больше 5-ти на 3, а 9 на 4, то надо протянуть на первой рук? 3 пальца, а на второй—4, тогда останется согнутыхъ пальцевъ на первой рук? 2, на второй—1; теперь мы складываемъ количество протянутыхъ: 3+4=7, и перемножаемъ количества согнутыхъ: 1?2=2, отв?тъ 72.
На чемъ же основанъ этотъ остроумный и быстрый пріемъ? Имъ такъ любили пользоваться школьники, особенно среднихъ в?ковъ. когда имъ не давалась многотрудная таблица умноженія. Основаніе его лучше всего можно выяснить алгебраической формулой, и для т?хъ, кто влад?етъ алгеброй, мы ее сообщаемъ. Она им?етъ видъ тождества: х. у==(х—5+у—5). 10+[5—(х—5)]. [5—(у—5)]. Изъ формулы можно вид?ть, что она прим?нима только для т?хъ случаевъ, когда множители больше 5-ти.
Пальцевымъ счетомъ можно воспользоваться также и при умноженіи двузначныхъ чиселъ, но только такихъ, чтобы они были не выше 20-ти. Чтобы показать это на прим?р?, умножимъ этимъ способомъ 13 на 14; для зтого 3 да 4 складываемъ; будетъ 7, столько десятковъ; эти же числа, т.-е. 3 и 4, перемножаемъ, будетъ 12, столько единицъ; а за то, что множители принадлежатъ ко 2-му десятку, надо къ полученнымъ отв?тамъ добавить еще сотню; тогда всего получится: 100+70+12=182—отв?тъ совершенно в?рный. Кто знаетъ алгебру, тотъ безъ труда составитъ формулу для объясненія этого пріема: (10+a). (10+b)=100+ab+10. (a+b).