Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики-без таблиц]

Вотъ мы поименовали cамыя употребительныя системы счета; изъ нихъ самая распространенная и развитая — десятичная: счетъ десятками можно просл?дить у вс?хъ народовъ, не исключая даже и т?хъ, которые предпочитали пользоваться пятками и дюжинами или же группами по 20 и по 60.
Изъ другихъ системъ, не приведенныхъ нами, мы можемъ указать лишь слабые намеки; такъ, напр., новозеландцы считаютъ группами въ 11, и у нихъ есть особыя коренныя слова для 11, 121 (=11?11), 1331 (=11?11?11); на ихъ язык? 12 зам?няется одиннадиатью однимъ, 13 — одиннадцатью двумя, 22 — дважды одиннадцать, 33 трижды 11 и т. д.
Вспомнимъ, кстати, что наши предки тоже считали иногда при помощи особыхъ своеобразныхъ единицъ — сороковъ: сорокъ сороковъ церквей, пять сороковъ соболей, сл?довательно, у нихъ единицей счета служила группа въ сорокъ.
Итакъ, у вс?хъ народовъ идетъ счетъ десятками, сотнями, тысячами и т. д. Какъ же изъ этихъ группъ или изъ этихъ сложныхъ единицъ образуются многозначныя числа? Въ нашемъ русскомъ язык? для этого обыкновенно существуетъ одинъ путь: сложеніе и повтореніе. Что значитъ, напр., тринадцать? три-на-десять, т.-е. 10+3, зд?сь мы видимъ сложеніе; что значитъ тридцать? тридцать — трижды десять: зд?сь встр?чаемъ мы повтореніе, иначе сказать умноженіе 10 на 3; въ выраженіи «триста двадцать» содержится два повторенія «три-ста», «два-десять» — и одно сложеніе — «триста двадцать». Но не такъ просто р?шается этотъ вопросъ въ другихъ языкахъ. Въ нихъ для образованія сложныхъ чиселъ берутся и другія два д?йствія, — вычитаніе и д?леніе; напр., по-латыни восемнадцать будетъ duodeviginti, это значитъ двадцать безъ двухъ, девятнадцать — undeviginti, это значатъ двадцать безъ одного. По-санскритски 95 выражается черезъ pantchonangsatam, что значитъ сто безъ пяти. Что касается д?ленія, то имъ иногда образуются числа и у насъ, напр., вм?сто «пятьдесятъ» говорятъ часто полсотни. Въ датскомъ язык? 60 выражается черезъ трижды двадцать (tresindstyve) — объ этомъ мы говорили выше, а 50 черезъ 2? раза по 20—halvtresindsryve, зд?сь уже д?леніе. Но вообще говоря, ч?мъ система счета развит?е, т?мъ бол?е приближаетея она къ десятичиой и т?мъ ясн?е проявляется образованіе чиселъ при помощи сложенія и умноженія. У насъ, напр., въ русскомъ язык? числа отъ 11 до 20 словесно выражены не очень ясно, напр., «пятнадцать» вм?сто «десять и пять», но, начиная съ 21, составъ чиселъ уже гораздо ясн?е, и мы встр?чаемъ такія выраженія: «двадцать пять», «тридцать шесть» и т. п., въ которыхъ десятки ясно разграничены съ единицами; подобно этому полные десятки въ пред?л? ста выражены не совс?мъ ясно. «тридцать» вм?сто «три десятка», а сотни выражены уже ясн?е: «триста» вм?сто «три сотни», а тысячи совершенно ясно: «три тысячи». Нашимъ д?тямъ, которыя начинаютъ учиться ари?метик?, легче въ этомъ случа?, ч?мъ, напр., н?мецкимъ; тамъ для чиселъ 11 и 12 употребляются такія слова, изъ которыхъ не видно разложенія ихъ на десятокъ и единицы; кром? того, въ двузначныхъ числахъ въ н?мецкомъ язык? выговариваются сперва единицы, а потомъ уже десятки, т.-е. какъ разъ обратно тому, какъ числа обозначаются письменно.
 
Пред?лъ чиселъ
Каковъ пред?лъ чиселъ, иначе сказать: до какого самого большого числа доходитъ тотъ или другой народъ при счет? и вычисленіи?
Живетъ въ настоящее время два дикихъ племени, Жури и Каирири, которыя считаютъ только по одной рук? и такимъ образомъ доходятъ только до пяти. Есть еще хуже. Низшія племена Бразиліи считаютъ обыкновенно по суставамъ пальцевъ и добираются этимъ путемъ только до трехъ. Все, что выше 2-хъ, они выражаютъ общимъ словомъ «много». Цивилизованные народы древн?йшихъ временъ, какъ то: халдеи, евреи и китайцы, не заходили въ счет? слишкомъ далеко. Въ халдейскихъ надписяхъ и памятникахъ нигд? не встр?чается упомипанія о милліон?. Въ Библіи есть, правда, выражепія «тысяча тысячъ» и «тысяча разъ по десяти тысячъ», однако подъ ними никакъ нельзя разум?ть опред?ленныхъ чиселъ, скор?й же это картинное обозначеніе какихъ-то громадныхъ, неизм?римыхъ количествъ. Не даромъ наши предки славяне принимали десять тысячъ за «тьму», какъ за что-то туманное и неясное, до чего нельзя и досчитаться. Еще сильн?е употреблявшееся у нихъ выраженіе «нев?діе», въ старинныхъ рукописныхъ славянскихъ ари?метикахъ оно обозначало сотню тысячъ. Древн?йшій культурный народъ Азіи, китайцы, слабые, впрочемъ, математики, считали тысячу и десять тысячъ в?нцомъ вс?хъ чисел?: друзьямъ они желаютъ жить тысячу л?тъ, а императору десятокъ тысячъ. Изъ всего этого видно, что большинство народовъ древности, даже и очень образованныхъ, довольствовались въ ари?метик? первыми 4 разрядами и дальше тысячъ при счет? не шли.
Но кто особенно любилъ большія числа, такъ это индусы, горячіе поклонники ари?иетики и ея творцы. Ум?нье обращаться съ громадн?йшими числами считалось у нихъ признакомъ чрезвычайной смышлености и ставилось въ высокую заслугу. Даровитый математикъ такъ же былъ славенъ въ Индіи и достигалъ такой же популярности, какая у насъ выпадаетъ на долю только поб?дителя или поэта. Интересна легенда о н?коемъ индус? Bodisattva какъ онъ сталъ свататься за одну д?вушку, и какъ отецъ нев?сты соглашался отдать ее только въ томъ случа?, если юноша докажетъ свое особое искусство въ письм?, въ единоборств?, въ б?г? и въ ари?метик?. По требованію отца, Bodisattva даетъ названія громаднымъ числамъ, кончая единицей 54-го разряца, т.-е. онъ оказывается въ состояніи прочесть число, выраженное длинной строкой въ 54 цифры, и что всего поразительн?е, такъ это то, что онъ выговариваетъ числа не по одному способу, а по н?сколькимъ, по 6 или 7. Въ заключеніе ему даютъ задачу: пусть бы онъ указалъ самую наименьшую долю длины, какую только можетъ онъ придумать. Онъ назвалъ и указалъ 1/108 470 495 616 000 индусской м?ры длины. Онъ началъ такъ: эта доля, которую я указываю, составляетъ седьмую часть тончайшей пылинки; 7 тончайшихъ пылинокъ составляютъ одну небольшую пылинку; изъ 7 небольшихъ выходитъ такая, которую кружитъ в?теръ; ихъ 7 даютъ одну, пристающую къ ног? зайца; 7 подобныхъ посл?дней даютъ одну, пристающую къ ног? барана; 7 пристающихъ къ ног? барана образуютъ одну, пристающую къ ног? буйвола; 7 пылинокъ буйвола составляютъ маковое зерпышко; 7 маковыхъ зернышекъ даютъ горчичное зерно, 7 горчичныхъ—ячменное, 7 ячменныхъ даютъ длину сустава пальца, изъ 12 суставовъ получаемъ пядь, изъ двухъ пядей — локоть, 4 локтя составляютъ лукъ и, наконецъ, 4000 луковъ даютъ индусскую м?ру длины, такъ наз. «yoana». Таковъ переходъ отъ этой м?ры къ самой малой дол? и такова дробь, выраженная, по нашему, въ трилліонныхъ частяхъ.
Знаменитые математики древней Греціи, Пи?агоръ и Архимедъ, не такъ интересовались ари?метикой, какъ геометріей. Ари?метика у нихъ была не своя, а заимствованная главнымъ образомъ у индусовъ. Неудивительно поэтому, что великій математикъ Пи?агоръ ограничивался въ своихъ вычисленіяхъ только 16-ю разрядами счетныхъ единицъ и заканчивалъ, если перевести числа на нашу систему, квадрилліонами (единица съ 15 нулями). Но Архимедъ пошелъ въ этомъ случа? довольно далеко. Подражая индусамъ, онъ поставилъ себ? такую задачу: высчитать число песчинокъ во всей вселенной, даже и въ томъ предположеніи, что весь міръ состоитъ изъ песчинокъ. Архимедъ р?шилъ задачу такъ. Пусть, говоритъ онъ, вся вселенная образуетъ шаръ съ центромъ на солнц? и съ радіусомъ, равнымъ разстоянію отъ солнца до земли. Пусть вся вселенная состоитъ изъ песчинокъ и притомъ изъ такихъ мелкихъ, что тысяча песчинокъ равна маковому зерну. Предположимъ, что 40 маковыхъ зеренъ, уложенныя въ рядъ, образуютъ дюймъ длины. При вс?хъ этихъ условіяхъ, по вычисленію Архимеда, песчинокъ во всей вселенной мен?е, ч?мъ сколько выражаетъ число, обозначенное единицей съ 64 нулями. Интересно, какъ же выговорить такое громадное число или какъ его представить въ наглядномъ и доступномъ вид?? Архимедъ идетъ такимъ путемъ: 10000 простыхъ единицъ онъ называетъ миріадой. Миріада миріадъ=100 000 000, это будетъ единица 9-го разряда. Назовемъ ее хоть группой. Группа группъ будетъ единицей 17-го разряда=100 000 000 000 000 000. Назовемъ эту группу группъ хоть массой. Тогда масса массъ составитъ единицу 33-го разряда. Назовемъ ее, пожалуй, хоть громадой. Тогда громада громадъ будетъ составлять единицу 65-го разряда и явится отв?томъ на задачу Архимеда.