Онтология математического дискурса

Если построение есть непосредственное продолжение экспозиции, то доказательство как бы продолжает детерминацию. Оно представляет собой речь по поводу проведенного построения, описывая полученную в ходе его конструкцию. Доказательство, как и детерминация, имеет дело со следом. Хинтикка утверждает, что эта часть теоремы чисто аналитическая, поскольку, в отличии от экспозиции и построения, не вводит никаких новых единичных предметов. Все доказательство можно развернуть в виде цепочки силлогизмов. 
1. Накрест лежащие углы равны. Углы 1 и 4 - накрест лежащие. ____________________________________ углы 1 и 4 - равны. 
2. Накрест лежащие углы равны. Углы 2 и 5 - накрест лежащие. ___________________________________________ Углы 2 и 5 - равны. 
3. Смежные углы в сумме равны двум прямым. Углы 1 и 3+5 - смежные. ___________________________________________ 
Углы 1 и 3+5 - в сумме равны двум прямым 
4. Если слагаемые равны между собой, то их суммы равны . Слагаемые в суммах 4+5+2 и 1+3+2 равны между собой. ______________________________________________________ 
4+5+2 и 1+3+2 равны между собой. 
5. Если две величины порознь равны третьей, то они равны между собой. 1+2+3 и p порознь равны 4+5+2 ___________________________________________ 1+2+3 и p равны между собой. 
Обратим внимание на то, что меньшими посылками этих силлогизмов являются единичные синтетические суждения. (Поэтому и заключение каждого силлогизма - единичное суждение.) Этим они (меньшие посылки) существенно отличаются, например, от больших посылок или от утверждения теоремы. В них не содержится никакого синтеза понятий. Следовательно они не устанавливают (и не предполагают) возможности. Их роль совершенно иная. Они фиксируют действительность предмета, описывая актуальный, уже созданный единичный объект. Все, что говорится по ходу доказательства относится к имеющемуся в наличии предмету. Это присутствие в наличии (которое, вообще, и есть действительность) представляет собой необходимое условие доказательства. Последнее всегда относится к следу проведенного построения. Если при разговоре об аксиомах или постулатах требование наличия следа (на доске или бумаге) казалось излишним, то теперь именно этот след и является изучаемым объектом. Заключительная фраза доказательства в точности повторяет детерминацию. Но если тогда она произносилась гипотетически, то сейчас является описанием уже построенного объекта, т.е. констатацией факта. Суть этой констатации состоит в том, что она указывает на актуализацию того понятия, возможность которого предполагалась в protasis. Коль скоро нами построена конструкция, сообразная схеме этого понятия, то оно (понятие) реально. Возможен его реальный синтез согласно формальным условиям опыта. Точнее не только возможен, но уже произведен. Поэтому можно вернуться к первоначальному утверждению теоремы, произнеся его уже в качестве заключения. Заключение представляет собой общее суждение, указывающее на реальную возможность понятия, как на установленную. В переходе от доказательства к заключению можно усматривать логическую трудность. С точки зрения формальной логики такой переход незаконен, т.к. является заключением от единичного к общему, т.е. переходом от более слабого утверждения к более сильному. Проведенное рассмотрение позволяет, однако, взглянуть на дело иначе. В доказательстве мы говорили о действительном объекте. Заключение касается лишь возможности того же объекта вообще. То, что действительно, естественно также и возможно. Обоснование законности заключения, таким образом, состоит в рассмотрении не количества суждений, а их модальности. Мы совершаем переход от более сильной модальности к более слабой, чем и удостоверяем истинность утверждения теоремы. 
  3 Необходимость и случайность 
Пока что мы не касались третьей из категорий модальности - необходимости. Обращение к ней требует от нас дополнительных разъяснений, ибо возникает подозрение, что все предыдущее рассуждение содержит какую-то путаницу с категориями. В самом деле, разве доказательство теоремы устанавливает возможность суждения? Не лучше ли сказать, что она устанавливает его необходимость? Совершенно естественно и неоспоримо, в частности, что сумма внутренних углов треугольника необходимо равняется двум прямым. Утверждение, что упомянутая сумма возможно равна двум прямым, звучит по меньшей мере странно. Прежде всего, укажем на два различных (хотя и близких) понимания возможности. Допустимо (и вполне естественно) говорить о возможном, как о горизонте всех явлений, которые могут при определенных условиях возникнуть. Например, речь может идти о спектре различных свойств, которыми может обладать вещь (точнее о спектре признаков, которые могут быть присоединены к данному понятию). Треугольник может быть равнобедренным или вписанным в окружность. Но может и не быть. Но сумма его внутренних углов равна двум прямым всегда. Этого не может не быть. Это - необходимое свойство. В противоположность ему два других - случайные. Может так случиться, например, что треугольник вписан в окружность. 
Как, однако, удостовериться в возможности, понимаемой в названном только что смысле? Как, уж если мы обратились к такому примеру, выяснить, что треугольник можно вписать в окружность. Процедура выяснения, оказывается, ничем не будет отличаться от той, которая выполнялась при установлении необходимого свойства. Мы должны будет установить, что понятие "треугольник, вписанный в окружность," согласуется с формальными условиями опыта, т.е. предъявить необходимый синтез настоящего понятия. Говоря более конкретно, нужно, сформулировав сначала общее суждение о возможности (protasis), мы должны будем затем начертить треугольник (ekqesis). После этого общее суждение о возможности будет переформулировано применительно к единичному предмету (diorismos - вокруг построенного треугольника ABC может быть описана окружность l). После этого мы проведем серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника (kataskeyh), докажем, что точка их пересечения - центр окружности, проходящей через вершины треугольника (apodeixis), и сделаем окончательный вывод об истинности исходного утверждения (sumperasma). 
Таким образом, возможность и необходимость оказываются категориями достаточно близкими. Впрочем, речь пока что должна, по-видимому, идти о двух разных пониманиях возможности. Когда мы обсуждали категорию возможности в предыдущем параграфе, мы говорили о возможности в противопоставлении действительности. Мы указывали, что треугольник (с суммой внутренних углов равной p) является возможным понятием, поскольку может быть построен. Мы всегда можем предъявить соответствующее ему созерцание, т.е. создать конструкцию согласно определенной схеме. Этим названное понятие ничем не отличается от таких, как "равнобедренный треугольник", или "треугольник, вписанный в окружность". Каждое из них обнаруживает себя как реальное тогда, когда проведена процедура синтеза и предъявлена соответствующая актуализация. Здесь мы поэтому говорим о несколько иной интерпретации той же самой категории. Важно, впрочем, что для обеих интерпретаций требуется проведение всей полноты синтеза. 
Так что устанавливая необходимость какого-либо положения дел, мы одновременно показываем возможность некоторого понятия. С другой стороны, выясняя возможность чего-либо, мы обнаруживаем необходимую связь актуализируемых при этом понятий. Так, когда мы проводим процедуру, призванную показать возможность понятия "треугольник, вписанный в окружность," мы одновременно доказываем, например, такое (необходимое) утверждение: "Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, есть центр описанной вокруг него окружности". 
Возможность и необходимость устанавливаются при одинаковых обстоятельствах, но относятся к разному. Возможность относится к одному понятию, тому, которое конструируется в синтетическом суждении. Необходимость относится к связи понятий. Понятие или предмет не могут быть необходимыми. Необходимым может быть какое-то положение дел: связь понятий или отношение объектов.