Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики-без таблиц]

Только у однихъ римлянъ и видимъ мы отниманіе низшаго знака отъ высшаго, ни у какого другого народа н?тъ подобнаго обыкновенія; если и ставился у другихъ народовъ низшій знакъ перед высшимъ, то онъ указывалъ обыкновенно на повтореніе, а не на отниманіе. Даже и въ произношеніи у римлянъ было вычитаніе, особенно же если вычиталось 2 или 1, такъ, напр., вм?сто восемнадцати они говорили двадцать безъ двухъ. Только въ случа? тысячъ низшій знакъ показывалъ умноженіе и, напр., десять тысячъ можно было писать черезъ X M=10?1000, а сто тысячъ черезъ CM; въ посл?днемъ случа? являлась полная возможность см?шать 100000 съ 900, потому что не видно было, надо ли 1000 взять сто разъ или же отнять 100 отъ 1000.
Точно такъ же писали иногда MM, и въ этомъ случа? опять не видно было, сколько тысячъ обозначено зтой формулой: или это дв? тысячи (М+М), или тысяча тысячъ (М?М), и то и другое чтеніе им?етъ свои основанія и можетъ считаться правильныиъ приходилось догадываться по смыслу, какое именно число надо подразум?вать въ каждомъ отд?льномъ случа?. Чтобы изб?жать сомн?ній и ошибокъ, римляне стали употреблять еще новый пріемъ по которому тысячи обозначались горизонтальной линіей вверху; этимъ пріемомъ 1000 пишется I, 100000=—С, [5] 1000000=—M, равнымъ образомъ —C—C=200000, —C—L—X=160000.
Знакъ |?| над цыфрами придавалъ имъ значеніе сотенъ тысячъ, такъ наприм?ръ |—X—V—I—I | = 1700000, |—M|= 1000.100000 = 100 000 000. Знаменітый ученый и естествоиспытатель Плинiй (въ I в?к? по Р. X.) ввелъ знакъ для тысячъ точку, сл?довательно L.D=50500. Встр?чаемъ и еще обозначеніе: Vm.=5000.
Теперь мы видимъ и ясно можемъ уб?диться. насколько весь порядокъ нумераціи у римлянъ былъ сбивчивъ, непосл?дователенъ и могь представить много поводовъ къ толкованіямъ въ ту и другую сторону. В?рн?е всего мы отъ римлянъ заимствовали обыкновеніе, чтобъ сумму денегъ въ разныхъ векселяхъ, распискахъ и т. д. писать не только цифрами, но и словами. Для римлянъ это было очень важно и настоятельно необходимо, потому что вс? эти черточки при цифрахъ легко можно стереть, продолжить и пополнить. Исторія передаетъ намъ случай, когда изъ-за неясности написаннаго ряда цифръ произошелъ большой споръ относительно зав?щаннаго насл?дства. Гальба получилъ отъ Ливіи Августы по зав?щанію 50 милліоновъ сестерцій (приблиз. 5 милліоновъ рублей), но Тиверій, главный насл?дникъ, сум?лъ доказать, что подъ этими цифрами надо разум?ть только 500 000 сестерцій; ему это удалось т?мъ легче, чтс сумма денегъ не была написана словами.
При выговариваніи большихъ чиселъ у римлянъ не было въ распоряженіи другихъ словъ, кром? тысячи. Поэтому 1000 000 000 они читали такъ: тысячью тысяча разъ по тысяч?.
Относительно происхожденія римскихъ цифръ существуетъ много различныхъ мн?ній и догадокъ. Н?которые полагагюъ, что начало этимъ цифрамъ дано буквами стариннаго алфавита. Другіе объясняютъ такъ: первыя три цифры I, II и III само собой понятны: он? произошли отъ счета линій; цифра V образовалась изъ картины руки, т.-е. пяти пальцевъ, потому что, если бы очертить кисть руки съ раздвинутыми пальцами, то и получилась бы фигура, напоминающая цифру V; цифра десять своею формой косого креста разлагается на 2 пятка X приложенныхъ другъ къ другу острыми концами; «С», которое обозначаетъ сто, является первой буквой числительнаго «Centum», что значитъ сто; M—тысяча, это начальная буква латинскаго слова «Mille» (тысяча). О томъ, какъ получился знакъ пятисотъ D, нами уже сказано выше. Такъ же можно объяснить и знакъ пятидесяти L, именно сто [, а 50 = L, т.-е. знакъ ста раздвоенъ на дв? половины, изъ которыхъ нижняя взята, а верхняя половина отброшена.
 
Происхожденіе нашихъ цифръ
Т? цифры, которыя употребляются въ настоящее время почти вс?ми образованными народами и которыми пользуемся также и мы, называются обыкновенно арабскими; но это названіе он? получили вовсе не потому, что обязаны своимъ происхожденіемъ арабамъ: арабы ихъ только принесли въ Евроиу, а начало имъ дали, по всей в?роятности, индусы.
Д?йствительныя, подлинныя арабскія цифры не им?ютъ никакого отношенія къ нашимъ, которыми мы пользуемся теперь. Прежде всего надо сказать, что первоначальное письмо арабовъ было грубо и некрасиво, и едва ли до VII в. по Р. X. были у нихъ какія-нибудь цифры. Только со временъ Магомета, когда сразу былъ данъ чрезвычайный толчекъ развитію арабскаго могущества и образованности, стало у нихъ процв?тать и письмо. Арабы особенно любили выражать числа такъ, чтобы писать полныя числительныя имена; отсюда естественно вытекаетъ, что съ теченіемъ времени они перешли къ первымъ буквамъ числительныхъ именъ; впосл?дствіи, подобно грекамъ, они стали прим?нять буквы въ алфавитномъ порядк?.
Около 773 года по Р. X. арабы приняли индусскую систему цифръ и стали обозначать числа такъ, какъ ихъ обозначали индусы. Сд?лать это было т?мъ бол?е легко и естественно, что Индія граничила съ влад?ніями арабскихъ халифовъ, и между сос?дями постоянно были близкія сношенія и торговыя, и научныя.
Заслуга индусовъ въ развитіи ари?метики громадна и неисчислима. Во-первыхъ, они сильно уменьшили количество цифръ и довели его до 10, считая въ томъ числ? и нуль; между т?мъ, у грековъ, у евреевъ, у сирійцевъ и т. д. цифръ было не мен?е 27; правда, римляне ум?ли обходиться 7-ю цифрами, но за то у нихъ была маса мелкихъ значковъ, которые только спутывали и м?шали. Во-вторыхъ въ индусской систем? ясно проглядываетъ необыкновенная простота, точность и объединенность: каждый разрядъ выражается обязательноі одной цифрой, а не н?сколькими; значеніе цифры легко угадать по м?сту, которое она занимаетъ, и не надо задумываться ни надъ сложеніемъ, ни надъ вычитаніемъ сос?днихъ знаковъ, какъ это бываетъ въ другихъ системахъ; кром? того, десятки, сотни, тысячи и милліоны и высшіе разряды пишутся точно такъ же, какъ простыя единицы, поэтому не надо изобр?тать особенныхъ правилъ для высшихъ разрядовъ, а можно безконечно прилагать одно и то-же правило. Вс? эти выгоды настолько ясны и безспорны, что всякій народъ, какъ только ознакомится со способомъ индусовъ и пойметъ его, то перем?няетъ свою систему на ихъ систему. Такъ было и съ арабами, и съ Западной Европой, и съ нами русскими.
Главное преимущество индусской системы заключается въ томъ, что значеніе каждой цифры вполн? опред?ляется ея м?стомъ, т.-е. если, наприм., цифра стоитъ на 4-мъ м?ст? справа, то она выражаетъ тысячи, и, сл?д., чтобы написать тысячу, надо только поставить цифру 1 на 4-е м?сто, но не перем?нять ея формы и не припиеывать какого-нибудь особеннаго слова или значка. Въ глубокой древности встр?чались и среди иныхъ народовъ геніальные умы, которые какъ-то смутно догадывались, что значеніе цифры лучше всего опред?ляетсяется м?стомъ, но вс? они становились въ тупикъ передъ такимъ сомн?ніемъ: а какъ же быть, если какой-нибудь разрядъ въ числ? пропущенъ, напр., если число состоитъ только изъ единицъ и сотенъ и не содержитъ десятковъ? Ч?мъ зам?щать недостающіе разряды? Индусы отв?чали коротко и ясно: надо зам?щать нулемъ. И мы теперь, когда отв?тъ изв?стенъ, пожалуй, удивляемся, чего тутъ труднаго, и какъ же было не смекнуть; но жизнь доказываетъ лучше всякихъ словъ, что самыя простыя и общія идеи всегда и самыя мудреныя. Вотъ что говоритъ относительно этого изв?стный французскій математикъ Лапласъ:
«Мысль выражать вс? числа 9-ю знаками, придавая имъ, кром? значенія по форм?, еще значеніе по м?сту, настолько проста, что именно изъ-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Какъ нелегко было прійти къ этой метод?—мы видимъ ясно на прим?р? величайшихъ геніевъ греческой учености, Архимеда и Аполлонія, для которыхъ эта мысль осталась скрытой».
Вс? величайшія открытія никогда не являются вдругъ и сразу, наоборотъ для нихъ необходима продолжительная подготовка. Какъ же могли индусы прійти къ иде? обозначенія чиселъ? какъ они придумали нуль? В?рн?е всего посл? счета нагляднаго, т.-е. счета на пальцахъ, камешкахъ и черточкахъ они перешли къ спеціальнымъ счетнымъ приборамъ, именно къ шарикамъ и косточкамъ на проволокахъ и шнурахъ; зат?мъ естественно было чертить колонны на песк?, дощечкахъ и бумаг? и въ эти колонки или желобки класть т? же косточки и шарики. Дальн?йшая ступень: въ колоннахъ чертятся значки или кладутся въ нихъ костяшки съ награвированными цифрами; теперь остался одинъ шагъ и до того, чтобъ цифрамъ придавать значеніе по м?сту; д?йствительно, если вс? колонны заняты, то ихъ края, пожалуй, можно и стереть, потому что и безъ нихъ можно догадаться, что первая справа костяішка обозначаетъ единицы, сос?дняя, т.-е. вторая, десятки и т. д. Получится гладкая, ровная поверхность, на которой подрядъ лежатъ костяшки, или начерчены значки; но какъ же быть съ той колонной, въ которой н?тъ значка, потому что въ данномъ числ? н?тъ соотв?тствующихъ единицъ? Подобную колонну стирать нельзя, потому что иначе смыслъ вс?хъ другихъ, лежащихъ вл?во, изм?нится, но ее-то одну именно и достаточно начертить, положимъ въ такой форм?: || или II или 0. Сл?довательно, нуль образовался изъ фигуры пустой колонны.